muestran que hay al menos $n/4$ Números de impar y al menos $n/4$ números pares.

Question

Para un número entero no nulo $k$ , denótese por $\nu_2(k)$ el máximo número entero no negativo $t$ tal que $2^t \mid k$ . Dados son $n (\ge 2)$ números enteros distintos por pares $a_1, a_2, \ldots, a_n$ . Demuestre que existe un número entero $x$ , distinta de $a_1, \ldots, a_n$ , de tal manera que entre $$\nu_2(x - a_1), \ldots, \nu_2(x - a_n)$$ hay al menos $n/4$ Números de impar y al menos $n/4$ números pares.

El problema parece ser el uso de la inducción matemática o el uso de todos modos, pero no tengo idea de este problema(es de un examen de la escuela Gracias

Answer 1

(No, esto no funciona).

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Considere el siguiente juego:
Paso 1: Se dan 2 enteros no negativos: $b_1, c_1$ tal que $ b_1 + c_1 = n$ .
Debes elegir un número entero. Que el número entero elegido sea $ d_1$ y el entero no recogido sea $ e_1 = b_1 + c_1 - d_1$ .
Paso 2: A continuación, se dan 2 enteros no negativos, $b_2, c_2$ tal que $ b_2 + c_2 = e_1$ Debes elegir un número entero. Que el número entero elegido sea $ d_2$ y el entero no recogido sea $ e_2 = b_2 + c_2 - d_2$ .
Paso k: Esto continúa durante un número finito de veces hasta que $ b_{k+1}, c_{k+1} \in \{ 0, 1\}$ .

Reclamación: Es posible elegir números enteros tales que $\sum_{i \text{ odd}} e_i \geq n/4 $ y $\sum_{i \text{ even}} e_i \geq n/4 $ .

Hacemos lo siguiente:
Empieza eligiendo el menor de los números. Tenga en cuenta el $ \sum e_i$ para las paridades pares/impares.
En el paso $j$ Al elegir primero $d_l$ causa $ \sum_{i \equiv j \pmod{2}, i\leq l} e_i \geq n/4$ cambiamos nuestro enfoque a

• En el paso $l \not \equiv j \mod{2}$ Elige el número más grande.
• En el paso $l \equiv j \mod{2}$ Elige el número más pequeño.