Sobre la definición de cohomología de Cech

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico y abra la cubierta de $\{U_i\}$ y deje $\mathcal F$ ser una gavilla de abelian grupos en $X$. Un $n$-cochain es una sección de $f_{i_0,\ldots,i_n}\in U_{i_0,\ldots,i_n}:= U_{i_0}\cap\ldots\cap U_{i_n}$; podemos costruct el siguiente grupo abelian (escrito en forma adicional):

$$ \verificación C^n(\mathcal U,\mathcal F):=\!\!\prod_{(i_o,\ldots,i_n)}\!\!\mathcal F(U_{i_0,\ldots,i_n}) $$

Ahora mi pregunta es la siguiente:

consideramos oredered secuencias de $(i_o,\ldots,i_n)$ ? Porque en este caso en el producto directo de cada uno de nosotros ha de grupo repetead $(n+1)!$ tiempos, que es el número de permutaciones de un conjunto $\{i_o,\ldots,i_n\}$.

Answer 1

Eche un vistazo a : http://math.stanford.edu/~conrad/papers/cech.pdf
Hay tres complejos que son homotópica, y así, inducir a la Čech Cohomology :
1) Sin pedir el abierto de conjuntos : la Čech complejo de singular cochains : $C^n(\mathcal U,\mathcal F)=\displaystyle\prod_{i_0,\ldots,i_n}\mathcal F(U_{i_0,\ldots,i_n})$.
2) teniendo en cuenta la alternancia de bloques abiertos : el Čech complejo de la alternancia de los cochains : $C^n_{\mathrm{alt}}(\mathcal U,\mathcal F)$ donde $\omega_{\varphi(i_0,\ldots,i_n)}=\varepsilon(\varphi)\omega_{i_0,\ldots,i_n}$ donde $\varphi$ donde $\varphi$ está en el grupo simétrico $\mathfrak S_n$ e donde: $\varepsilon(\varphi)$ es el signo de $\varphi$.
3) cuidar de la orden : el Čech complejo de ordenada cochains : $C^n_<(\mathcal U,\mathcal F)=\displaystyle\prod_{i_0<\ldots<i_n}\mathcal F(U_{i_0,\ldots,i_n})$, para un total $<$ $I$ donde $\{U_i\}_{i\in I}$.

Como se muestra en este enlace, estos complejos inducir el mismo cohomology de la que es habitual Čech cohomology.

La ventaja del complejo de la alternancia de los cochains más singular cochains es que podemos utilizar fácilmente los ajustes, para $\mathcal U$ (para el límite inductivo) ya que no necesita de la orden.
La ventaja del complejo de singular cochains sobre la alternancia de cochains es que podemos utilizar no inyectiva refinamientos.

Otro inconveniente de la ordored cochains es que necesitamos un orden total $<$.

Answer 2

Usted puede elegir: las dos versiones que existen!

a) Usted puede tomar el producto $\check C^n(\mathcal U,\mathcal F)=\!\!\prod_{(i_o,\ldots,i_n)}\!\!\mathcal F(U_{i_0,\ldots,i_n})$ $n+1$- tuplas, por lo que, de hecho, hay mucha redundancia en sus grupos, es decir que se van a repetir.

b) O usted puede poner un poco de orden total en $I$ y considerar la compleja $$ \verificación C'^n(\mathcal U,\mathcal F):=\!\!\prod_{i_o\lt\ldots\lt i_n}\!\!\mathcal F(U_{i_0,\ldots,i_n}) $$
lo que es claramente más económico.

b') No es una variante donde se utiliza el subcomplejo $\check C_{alt}^\bullet(\mathcal U,\mathcal F)\subset \check C^n(\mathcal U,\mathcal F)$ de los complejos en una) que consiste en alternar las familias: por ejemplo, si $n=1$ necesita $s_{ij}=-s_{ji}\in \mathcal F(U_i\cap U_j) \;\text {for } \;i\neq j$ $s_{ii}=0.$

Estos complejos dar el mismo cohomology grupos: es bastante claro para b) y b'), y requiere de un cálculo para mostrar que la inclusión de complejos $$\check C_{alt}^\bullet(\mathcal U,\mathcal F)\hookrightarrow \check C^\bullet(\mathcal U,\mathcal F)$$ yields isomorphisms at the level of cohomology groups $$ \check H_{alt }^n(\mathcal U,\mathcal F)\hookrightarrow \check H^n(\mathcal U,\mathcal F) $$

En esa generalidad debo admitir que todo esto es un poco aburrido.
Para familiarizar a sí mismo con efectivo cálculos en bajos grados, recomiendo el artículo 12 de Forster Conferencias sobre las Superficies de Riemann en el cual explícitamente se calcula, por ejemplo, la primera Čech cohomology grupo $\check H^1$ de algunas gavillas en las superficies de Riemann.

Editar
Permítanme decir, como una respuesta a Galoisfan la pregunta, que versión b) es mucho más potente.
He aquí un ejemplo:

Deje $X$ ser una superficie de Riemann y $\mathcal F$ coherente gavilla.
Si $\mathcal U=\lbrace U_0,U_1\rbrace$ es una cubierta de $X$ consiste de dos conjuntos, entonces, obviamente, $\check C'^n(\mathcal U,\mathcal F)=0$ $n\geq 2$ ya que no se puede extraer una secuencia de ot tres estrictamente creciente número de $\lbrace 0,1\rbrace$ !
Pero si $U_0,U_1\subsetneq X$ son estrictas abrir subconjuntos, son Stein y Leray del teorema dice que $ \check H^n(\mathcal U,\mathcal F) = \check H^n(X,\mathcal F) $, el genuino cohomology de $\mathcal F$ (es decir, el límite inductivo sobre las cubiertas de los $X$).
Para la versión b) permite demostrar que la auténtica cohomology grupos $\check H^n(X,\mathcal F) \; (n\geq 2)$ cero: un hecho notable teorema!

En el mismo sentido, para cada variedad algebraica $X$ que pueden ser cubiertos por $n+1$ abierto afín subconjuntos de ($\mathbb P^n$ por ejemplo ) y cada coherente algebraicas gavilla $\mathcal F$$X$, el totalmente ordenado versión de Čech cohomology muestra que $\check H^k(X,\mathcal F) =0$$k\gt n$.