¿Es convergente o diverge hasta el infinito?

Question

Resuelve o da algunas pistas.

$\lim_{n\to\infty}\dfrac {C_n^{F_n}}{F_n^{C_n}}$ ,

donde $C_n=\dfrac {(2n)!}{n!(n+1)!}$ es el n-ésimo número catalán y $F_n=2^{2^n}+1$ es el n-ésimo número de Fermat.

Answer 1

Aproximado $(n+1)!\simeq n!$ y utilizar la aproximación de la libra esterlina

$$L\simeq\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{\sqrt{4\pi n}(\frac{2n}{e})^n}{(\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n)^2}}{2^{2^n}}$$ $$L\simeq\lim_{n\rightarrow\infty}e^{n\ln\left((1/\pi n) (2e/n)\right) -2^nlog2}$$ Parece que a medida que n va al infinito, la parte superior de la potencia va, es decir, { $\dots$ } parte de $e^{\dots}$ va al infinito negativo y por lo tanto el límite es cero. Tomé $F_n\simeq2^{2^n}$ y aproximaciones similares.

Como sabes $C_n$ crece más lentamente que $F_n$ se puede demostrar que para cualquier $a_n$ y $b_n$ , si $a_n/b_n$ va a cero cuando n va a infty, $a_n^{b_n}/b_n^{a_n}$ va al infinito cuando n va al infinito.

Para demostrarlo, proceda como en el caso anterior, $$L'=\lim_{n\rightarrow\infty} e^\left(b_n\ln(a_n)-a_n\ln(b_n)\right)$$ ya que, para cualquier secuencia, o función, $\ln(n)$ crece más lentamente que $n$ se puede concluir que el límite anterior es el infinito.