Dado un mapa suave $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ con $\det(DF)=0$ ¿es posible aproximarlo mediante mapas suaves $F_i:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ con $\det(DF_i)\neq 0$ (tal vez de manera uniforme)?
Respuesta
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Si $DF$ es diagonalizable, una forma fácil podría ser añadir $\varepsilon(x_1,\dots,x_n)$ y que $\varepsilon\to 0$ . De lo contrario, debe utilizar el hecho de que las matrices no diagonalizables pueden ser aproximadas por otras diagonalizables y ajustar su $F$ adecuadamente para que coincida con las matrices no diagonalizables. Tienen una bonita forma explícita: se puede demostrar demostrando que cada matriz es similar a una matriz triangular superior.
