Es una cuestión abierta si existe una definición existencial de primer orden de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Q}$ en el lenguaje de los anillos $\mathcal{L}_\text{ring} = (+, \cdot, 0, 1)$ es decir, una fórmula de la forma $t \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \exists x_1, \ldots, x_n : \phi(t, x_1, \ldots, x_n)$ donde $\phi$ es una fórmula sin cuantor. Koenigsmann señaló en su artículo de 2016 "Defining $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Q}$ " que podría obtener una respuesta a esta pregunta estudiando modelos de la teoría de $\mathbb{Q}$ y sus "anillos de enteros" (definidos mediante la transferencia de una definición de primer orden de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Q}$ ).
Una rápida búsqueda en Internet de "modelos de los racionales" no ha arrojado ninguna investigación actual sobre este tema, aunque no puedo imaginar que haya quedado sin explorar. Así que mi pregunta es: ¿qué se sabe sobre la teoría de primer orden de $\mathbb{Q}$ y tienen modelos significativos no estándar de $\mathbb{Q}$ ¿se ha construido/estudiado?
Algunos ejemplos (también debidos a Koenigsmann) de hechos sobre la teoría de $\mathbb{Q}$ lo que llevaría a resultados sobre la pregunta original:
- Una condición necesaria para $\mathbb{Z}$ para ser existencialmente definible en $\mathbb{Q}$ es que, para dos modelos cualesquiera $Q_1$ y $Q_2$ de la teoría de $\mathbb{Q}$ , $Q_1 \subseteq Q_2$ implica que $Q_1$ es relativamente cerrada algebraicamente en $Q_2$ .
- Una condición necesaria y suficiente para $\mathbb{Z}$ para que sea definible en $\mathbb{Q}$ es que, para dos modelos cualesquiera $Q_1, Q_2$ de la teoría de $\mathbb{Q}$ con "anillos de enteros" $Z_1$ y $Z_2$ , $Q_1 \subseteq Q_2$ implica $Z_1 \subseteq Z_2$ .
