Relación entre las series armónicas $H(m)$ y la función poligámica?

Question

Tengo la siguiente fórmula:

$$h(x)=\sum_{R=1}^m \frac{1}{R+1}-1$$

He reexpresado esto (¡correctamente, espero!) en términos del número armónico $H(m)=\sum_{R=1}^m \frac{1}{R}$ :

$$h(x)=H(m)+\frac{1}{m+1}-2$$

Sin embargo, Mathematica insiste en simplificar $h(x)$ a

$$\gamma+\psi_0(m+2)-H(m)-2$$

donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni y $\psi$ es la función poligama, que según varios sitios web viene dada por $\psi_0(m+2)=\frac{d^1}{d(m+2)^1} \ln \Gamma(m+2)$ .

¿Existe una prueba para la simplificación de Mathematica? ¿Y la he resumido correctamente?

Nunca he trabajado con funciones gamma, así que agradecería la ayuda.

Answer 1

La función Digamma

Diferenciando el logaritmo de $\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)$ da $$ \frac{\Gamma'(x+1)}{\Gamma(x+1)}=\frac1x+\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\tag1 $$ es decir, el función digamma satisface $$ \psi(x+1)=\frac1x+\psi(x)\tag2 $$ Desde $\log(\Gamma(x+1))-\log(\Gamma(x))=\log(x)$ el teorema del valor medio dice que hay un $\xi\in(x,x+1)$ para que $$ \frac{\Gamma'(\xi)}{\Gamma(\xi)}=\log(x)\tag3 $$ Porque $\Gamma$ es logarítmico-convexo, obtenemos que $$ \log(x-1)\lt\psi(x)\lt\log(x)\tag4 $$ Por lo tanto, $$ \lim_{x\to\infty}(\psi(x)-\log(x))=0\tag5 $$

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Los números armónicos ampliados

Si definimos $$ H(x)=\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1k-\frac1{k+x}\right)\tag6 $$ entonces obtenemos mediante el uso de Serie telescópica $$ \begin{align} H(x+1)-H(x) &=\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1{k+x}-\frac1{k+x+1}\right)\\ &=\frac1{x+1}\tag7 \end{align} $$ y para $n\in\mathbb{N}$ , $H(n)=H_n$ El $n^\text{th}$ Número de armónicos .

Como se muestra en esta respuesta , $$ \lim_{n\to\infty}(H_n-\log(n))=\gamma\doteq0.57721566490153286060651209\tag8 $$ Si $|x-n|\lt1$ entonces $|H_n-H(x)|\le\frac1{n-1}$ y $|\log(n)-\log(x)|\le\frac1{n-1}$ . Por lo tanto, obtenemos que $$ \lim_{x\to\infty}(H(x)-\log(x))=\gamma\tag9 $$

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Relación entre $\boldsymbol{H(x)}$ y $\boldsymbol{\psi(x+1)}$

Ecuaciones $(2)$ y $(7)$ dicen que para $f(x)=H(x)-\psi(x+1)$ tenemos $$ f(x+1)=f(x)\tag{10} $$ Ecuaciones $(5)$ y $(9)$ dicen que $$ \lim_{x\to\infty}f(x)=\gamma\tag{11} $$ Por lo tanto, obtenemos que $f(x)=\gamma$ eso es, $$ H(x)=\psi(x+1)+\gamma\tag{12} $$

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A la pregunta

En su pregunta parece estar equiparando $x$ y $m$ . Utilizaré sólo $m$ ya que se utiliza más comúnmente para un número entero.

Su ecuación $$ h(m)=H_m+\frac1{m+1}-2\tag{13} $$ es correcto. $(13)$ también puede escribirse como $$ h(m)=H_{m+1}-2\tag{14} $$ Como se muestra en $(12)$ , $H_{m+1}=\psi(m+2)+\gamma$ Así que $(14)$ se convierte en $$ h(m)=\psi(m+2)+\gamma-2\tag{15} $$ Parece que la fórmula que da Mathematica sería para $$ \gamma+\psi(m+2)-H_m-2=h(m)-H_m\tag{16} $$

Answer 2

Puede encontrar esto en mis notas también, en la sección de funciones especiales.

Los teoremas de Mittag-Leffler y Weierstrass sobre la factorización de funciones enteras nos proporcionan la bonita identidad $$ \Gamma(z+1) = e^{-\gamma z}\prod_{n\geq 1}\left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n} \tag{1}$$ que se mantiene uniformemente sobre cualquier subconjunto compacto de $\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,-3,\ldots\}$ . Se puede demostrar también mediante la fórmula del producto de Euler, que a su vez, si se restringe a la recta real positiva, es una consecuencia de la definición de la $\Gamma$ proporcionada por el teorema de Bohr-Mollerup, es decir $\Gamma(x+1)$ es la única función log-convexa que cumple la ecuación funcional $f(x+1)=(x+1)\cdot f(x),\;f(0)=1$ es decir, el " más natural " extensión de la función factorial a los números reales positivos. La constante $\gamma$ que aparece arriba significa $$ \lim_{n\to +\infty} H_n-\log(n) = \sum_{n\geq 1}\left(\frac{1}{n}-\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)\stackrel{\mathcal{L}^{-1}}{=}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x e^x}\,dx\approx\frac{1}{\sqrt{3}}. \tag{2}$$ Si aplicamos $\frac{d}{dz}\log(\cdot)$ a ambos lados de $(1)$ y definir la función Digamma como $\frac{d}{dz}\log\Gamma(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$ que tenemos: $$ \psi(z+1)+\gamma = \sum_{n\geq 1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+z}\right) \tag{3} $$ y si $z\in\mathbb{N}$ el RHS de $(3)$ es una serie telescópica, igual a $H_z$ por la definición combinatoria de los números armónicos. Es evidente que $H_z = \gamma+\psi(z+1)$ permite definir números armónicos con parámetros no enteros, y las identidades funcionales para el $\Gamma$ función $$ \Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin(\pi s)},\qquad \Gamma(x+1)=x\cdot\Gamma(x) $$ implican las siguientes identidades funcionales para la función Digamma, por diferenciación logarítmica: $$ \psi(s)-\psi(1-s) = -\pi\cot(\pi s),\qquad \psi(s+1)=\frac{1}{s}+\psi(s). \tag{4}$$ También tenemos fórmulas de duplicación y multiplicación, y una pequeña joya de Gauss .
De ellas se desprenden una serie de datos interesantes, entre ellos: $$ H_{1/2}=2-2\log 2,\qquad \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^a}=\frac{\pi}{a\sin\frac{\pi}{a}}\quad\forall a>1. \tag{5}$$ Al diferenciar $(3)$ e invocando la telescopia creativa, A continuación, una breve demostración de la aproximación de Stirling .