Función Twistor para el campo de Coulomb

Question

En un artículo de Penrose en Hughston y Ward "Advances in Twistor Theory", se afirma que la función twistor

$$ f(Z^\alpha) = \log{\frac{Z^1Z^2 - Z^0Z^3}{Z^2Z^3}}$$

produce un campo de Coulomb antiautodual. Hasta donde yo sé, éste es precisamente un campo de Maxwell con $\mathbf{B} = -i\mathbf{E}$ y $\mathbf{E} \propto \mathbf{r}/r^3$ . Estoy tratando de verificar esto usando la fórmula integral del contorno pero estoy obteniendo un resultado erróneo. ¿Podría alguien indicarme mi error?

Considere un anti-self-dual (ASD) Campo de Coulomb $F$ . Entonces podemos escribir $$F_{ab} = F_{AA'BB'} = \phi_{AB}\epsilon_{A'B'}$$ mediante un argumento estándar. En particular, entonces $$E_x = F_{01} = \frac{1}{2}(F_{00'00'} - F_{00'11'} + F_{11'00'} - F_{11'11'}) = - \phi_{01}$$

Utilizando la fórmula integral habitual para la transformada de Penrose tenemos

$$\phi_{01}(t,x,y,z) = \frac{1}{2\pi i}\oint \rho_x \frac{\partial}{\partial \omega^0}\frac{\partial}{\partial \omega^1} f(Z^\alpha) \pi_{E'}d\pi^{E'}$$

que se puede encontrar en

$$\phi_{01}(t,x,y,z) = \frac{1}{2\pi i} \oint \frac{\pi_{0'}\pi_{1'}}{(x^{10'}\pi_{0'}^2+(x^{11'}-x^{00'})\pi_{0'}\pi_{1'} - x^{01'}\pi_{1'}^2)^2} \pi_{E'}d\pi^{E'}$$

Ahora, la elección de las coordenadas locales $\pi_{E'}=(1,\xi)$ y recordando que

$$\left(\begin{array}{cc} x^{00'} & x^{01'} \\ x^{10'} & x^{11'} \end{array}\right) =\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{cc}t+x & y+iz \\ y-iz & t-x \end{array}\right) $$

obtenemos

$$\phi_{01} = \frac{1}{2\pi i}\oint d\xi \frac{\xi}{(1/\sqrt{2}(y-iz)+\sqrt{2}x\xi - 1/\sqrt{2}(y+iz)\xi^2)^2}$$

que tiene dobles polos en

$$\xi = \frac{-\sqrt{2}x \pm \sqrt{2x^2 + 2y^2 + 2z^2}}{-\sqrt{2}(y+iz)} = \frac{x \mp r}{y + iz}$$

Denota estos $\xi_1$ y $\xi_2$ . Entonces tenemos ( ¡error aquí, muy obviamente, en retrospectiva! )

$$\phi_{01}(t,x,y,z) = \frac{1}{2\pi i}\oint d\xi \frac{\xi}{(\xi -\xi_1)^2(\xi - \xi_2)^2}$$

El residuo en $\xi_1$ es \begin{align*} r_1 &= \rho_{\xi_1}\frac{d}{d\xi}\frac{\xi}{(\xi - \xi_2)^2} \\ &= \frac{1}{(\xi_1 - \xi_2)^2} -2 \frac{\xi_1}{(\xi_1-\xi_2)^3} \\ &= \frac{\xi_1 - \xi_2 - 2\xi_1}{(\xi_1-\xi_2)^3} \\ &= -\frac{x(y+iz)^2}{2r^3} \end{align*}

Ahora es evidente que ninguna integral de contorno reproducirá el campo de Coulomb requerido. ¿Qué he hecho mal? Una pista sería muy apreciada. Muchas gracias de antemano.

(P.D. ¡disculpas por la longitud de esta pregunta! También me disculpo por el cross-posting de MathOveflow, sólo tengo la sensación de que es más probable que encuentre una respuesta aquí).

Answer 1

Su primer error es $$ E_x = F_{01} = \phi_{01}$$ Aparentemente has confundido los índices espinor y vectorial aquí. La identidad $E_x=F_{01}$ se mantiene si $0,1$ se interpretan como los índices del vector con cuatro valores posibles correspondientes a $0123=txyz$ . Pero entonces no se puede escribir que es igual a $\phi_{01}$ porque este último tiene los índices del espinor con dos valores posibles. Para transformarlos entre sí, se necesita el espinensor $\sigma^\mu_{A\bar B}$ o cualquiera que sea su símbolo. No es cierto que sólo un componente de la $\sigma$ es no evanescente para cada $\mu$ .

Podría haber visto este error al notar que su "traducción" de $\phi_{01}$ sólo "encendió" los componentes del campo eléctrico. Pero como tú mismo dices, la fórmula de $F_{\mu\nu}$ en términos de $\phi_{AB}$ crea un campo antidual para cualquier valores de $\phi_{AB}$ . De ello se desprende que en términos de $E_i,B_i$ todos los componentes de $\phi_{AB}$ son combinaciones de los componentes del vector $E+iB$ (Espero que mi signo relativo coincida con sus convenciones). Del mismo modo, los componentes de $E-iB$ se codificaría en el término extra $\phi_{\bar A\bar B}$ si lo has añadido.

En particular, sus convenciones para las rotaciones son tales que los componentes de los spintensores son estados propios de $J_x$ que hace girar el $yz$ -plano (ver la matriz después de "recordar que" en su pregunta). La componente $\phi_{01}$ que ha calculado contiene el valor "medio" de $J_x$ que es $J_x=0$ los otros componentes "extremos" $\phi_{00}$ y $\phi_{01}$ llevar $J_x=\pm 1$ .

El componente de $E+iB$ con $J_x=0$ es claramente un múltiplo de $E_x+iB_x$ . Así que esta es la combinación que estabas calculando por tu integral de contorno si fuera correcta. (Los componentes $\phi_{00}$ y $\phi_{11}$ son proporcionales al $y\pm iz$ componentes de $E+iB$ ; hay cuatro términos en cada uno). Sin embargo, incluso el análisis dimensional es suficiente para ver que tu evaluación de la integral no era correcta. La variable $\xi$ es adimensional (relación de dos componentes de un espinor) y también lo es la medida $d\xi$ . Pero si se observa la fórmula integral de $\phi_{01}$ y trazar las cosas dimensionales como $x,y,z$ , se ve que $\phi_{01}$ va como $1/{\rm length}^2$ como lo que se espera para el $\vec r / r^3$ resultado. En cambio, los residuos que usted afirma son adimensionales: este resultado está desviado por dos potencias de la longitud.

Cualquiera que sea la forma en que obtuviste los "residuos" tuvo que ser incorrecta. Sospecho que cometiste algún error -no identificable porque no mostraste tu cálculo de los residuos- relacionado con los residuos de las singularidades de orden superior. Probablemente algún error de signo en la potencia del agregado $z^k$ en la integral de contorno $\oint dz$ o la diferenciación en lugar de la integración, no lo sé. Un procedimiento de integración válido no podría haber dado un resultado que violara el análisis dimensional. Véase

http://en.wikipedia.org/wiki/Residue_(análisis_complejo)#Fórmula_de_límite_para_los_polos_de_orden_mayor

para la forma correcta de calcular los residuos de las singularidades superiores.

Se puede ver por argumentos generales, no sólo por el cálculo específico, que la integral tiene que producir el resultado proporcional a lo que se espera.

Answer 2

Simplemente factoricé mal la cuadrática - sabía que era un error estúpido. Me asombra que no lo haya visto, pero me asombra aún más que nadie lo haya visto. Aquí está la solución correcta.

$$\phi_{01}(t,x,y,z) = \frac{1}{2\pi i}\oint d\xi \frac{\xi}{(x^{01'})^2(\xi -\xi_1)^2(\xi - \xi_2)^2}$$

El residuo en $\xi_1$ es \begin{align*} r_1 &= \rho_{\xi_1}\frac{d}{d\xi}\frac{\xi}{(x^{01'})^2(\xi - \xi_2)^2} \\ &= \frac{1}{(\xi_1 - \xi_2)^2(x^{01'})^2} -2 \frac{\xi_1}{(x^{01'})^2(\xi_1-\xi_2)^3} \\ &= \frac{\xi_1 - \xi_2 - 2\xi_1}{(x^{01'})^2(\xi_1-\xi_2)^3} \\ &= -\frac{x(y+iz)^2}{2r^3(y+iz)^2} \end{align*}

Esta es ahora la respuesta correcta :).