Una desigualdad simple con logaritmos y exponenciales

Question

Quiero demostrar que para $k>0$ :

$ 2^k \geq \frac{-1}{\log_2(1-\frac{1}{2^k})}$

He trazado ambas funciones y parece que es el caso para k>0.

De hecho, también estaría bien ver eso:

$ \frac{-1}{\log_2(1-\frac{1}{2^k})} \geq 2^{k-1}$

Gracias.

Answer 1

Con $t = 1 - 2^{-k}$ (así $0 < t < 1$ para $k > 0$ ), su desigualdad se convierte en $1/(1-t) \ge -1/\log_2(t)$ o $\log_2(t) \le -1+t$ . De hecho $\log_2(t) = \ln(t)/\ln(2)$ y $\ln(2) < 1$ así que $\log_2(t) < \ln(t)$ y $\ln(t) \le -1+t$ .

Su "estaría bien" no es cierto para $0 < k < 1$ . Es cierto para $k \ge 1$ .