Evaluación de una integral definida con raíz cuadrada en el denominador

Question

La integral definida

$\displaystyle \int_0^{\pi } \frac{x \cos (x)}{\sqrt{\alpha^2-x^2}} \, dx$

se evalúa numéricamente.

Tras la evaluación numérica con un CAS, se encuentra que la integral tiene valores numéricos reales para $\alpha \geq \pi$ y valores numéricos complejos para $\alpha<\pi$ .

¿Cómo se demuestra o explica esto?

¿Es cierto que para cualquier integral definida

$\displaystyle \int_0^{\beta } \frac{x \cos (x)}{\sqrt{\alpha^2-x^2}} \, dx$

los valores numéricos son reales para $\alpha \geq \beta$ ? ( $\alpha$ y $\beta$ son reales)

Answer 1

Si $0<\alpha < \beta$ entonces $a^2-x^2<0$ para $\alpha < x < \beta$ así que estás tomando la raíz cuadrada de números negativos.

Answer 2

Sugerencia . Viene de $$ |\alpha|<x \implies\alpha^2-x^2 <0 \quad \text{giving}\quad \sqrt{\alpha^2-x^2}\in \mathbb{R} i. $$ Uno tiene, por $0<\alpha<\pi$ , $$ \int_0^{\pi } \frac{x \cos (x)}{\sqrt{\alpha^2-x^2}} \, dx=\underbrace{\int_0^{\alpha} \frac{x \cos (x)}{\sqrt{\alpha^2-x^2}} \, dx}_{\large \,\in\, \mathbb{R}}+\underbrace{\int_{\alpha}^{\pi } \frac{x \cos (x)}{\sqrt{\alpha^2-x^2}} \, dx}_{\large \,\in\, \mathbb{R} i}. $$