Por qué la correlación cero no implica necesariamente la independencia

Question

Si dos variables tienen correlación 0, ¿por qué no son necesariamente independientes? ¿Son independientes las variables con correlación cero en circunstancias especiales? Si es posible, busco una explicación intuitiva, no una muy técnica.

Answer 1

Añadiendo a @Marcelo Ventura y @Mike Hunter grandes respuestas, y la referencia a un gran discusión en torno a esto en Quora.

Un punto importante (implícito) se hace aquí y en el hilo de quora. Aunque la correlación es una medida lineal, no significa exclusivamente que sólo pueda cuantificar la relación entre variables linealmente dependientes.

Podría decirse que un factor igualmente importante es si existe una relación monótona entre variables . Como se indica en minitab

En una relación monótona, las variables tienden a moverse en la misma dirección relativa, pero no necesariamente a un ritmo constante. En una relación lineal, las variables se mueven en la misma dirección a un ritmo constante.

Esto significa que si tenemos variables no monótonas relacionadas podemos observar una correlación nula aunque no sean independientes

Para ilustrar esto digamos que por ejemplo tenemos un $f(x) = x^2$ , utilizando python para evaluar la función

Si nos fijamos en $x$ en $[0, 50)$ encontramos que $f(x)$ tiene una relación monótona con $x$ Como resultado, observamos que las correlaciones son cercanas a 1:

import numpy as np
import seaborn as sns

x = np.arange(0, 50, 1)
f = lambda x: x ** 2
y = f(x)
sns.scatterplot(x, y)

# Get correlations using scipy
from scipy.stats import pearsonr, spearmanr
pearsonr(x, y)[0]
spearmanr(x, y)[0]

• Correlación de Pearson: 0.967
• Correlación de Spearman: 0.999...

Ahora bien, si miramos $x$ en $[-25, 25)$ encontramos $f(x)$ ya no tiene un tono monótono relación con $x$ Por lo tanto, las correlaciones son cercanas a cero, como se esperaba:

x = np.arange(-25, 25, 1)
y = f(x)
sns.scatterplot(x, y)
pearsonr(x, y)[0]
spearmanr(x, y)[0]

• Correlación de Pearson: -0.077
• Correlación de Spearman: -0.059