La raíz digital de una torre de exponentes, $d(\underset{\text{The number of }2 \text{'s is }2013}{\underbrace{2^{2^{2^{.^{.^{.^{2}}}}}}}})$

Question

Para un número natural $n$ la raíz digital de $n$ es el valor obtenido mediante un proceso iterativo de suma de dígitos. La raíz digital de $n$ se denota por $d(n)$ .

Ejemplos; $d(142)=7$ , $d(123785)=8$

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En $2013$ asistí a un duro torneo de matemáticas. En este torneo, nadie respondió a esta pregunta, y tengo curiosidad por saber la clave para resolverla. Cualquier ayuda será apreciada.

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Si $d(n)=n-9\left \lfloor \frac{n-1}{9} \right \rfloor$ , hallar el valor de $d(\underset{\text{The number of }2 \text{'s is }2013}{\underbrace{2^{2^{2^{.^{.^{.^{2}}}}}}}})$ .

Answer 1

He encontrado una respuesta sospechosamente sencilla a este problema, así que te agradecería que revisaras mi trabajo. Definamos $\textrm{tow}(2, k)$ para indicar una torre de energía de $2$ s de altura $k$ . Sabemos que $2^6 \equiv 1 \mod 9$ . Así, $\textrm{tow}(2, 2013) \equiv 2^{a}\mod 9$ , donde $a \equiv \textrm{tow}(2, 2012) \mod 6$ . Sin embargo, hay que tener en cuenta que $2^{2k} \equiv 4 \mod 6$ cuando $k>0$ . $\textrm{tow}(2, 2012)$ es obviamente par, por lo que se deduce que $\textrm{tow}(2, 2013) \equiv 2^{4}\equiv 7\mod 9$ . Utilizando la fórmula de $d(n)$ que ha proporcionado, vemos que nuestra respuesta final es, efectivamente, sólo $7$ .