desigualdad variable tres cíclico

Question

Que $a,b,c$ ser números verdaderos no negativos y $a+b+c=3$. Demostrar la desigualdad $$ \sqrt{24a^2b+25}+\sqrt{24b^2c+25}+\sqrt{24c^2a+25}\le 21 $$

Yo he tratado de encontrar la solución utilizando las desigualdades clásicas, pero no. ¿Alguna idea?

Answer 1

Prueba sin palabras (más como un pictural comentario). La siguiente referencia que da algunas pistas sobre el saber cómo hacer tal cosa:

• Ejemplo de un Problema más Fácil con el Sesgo de las Coordenadas

       

Definir la función a ser investigado como: $$ F(a,b,c) = \sqrt{24a^2b+25}+\sqrt{24b^2c+25}+\sqrt{24c^2a+25} - 21 $$ Escaneo el interior del triángulo (foto a la izquierda) de un pixel por un pixel (es decir, numéricamente) revela que:

mínimo = -5.97874499595267 E+0000 ; máximo = -1.86093567294196 E-0005

El exacto mínimo es en los vértices del triángulo: $F(3,0,0)=F(0,3,0)=F(0,0,3)=-6$ , justo más allá del alcance de los números.
Las líneas de contorno de la función se muestra en la imagen de la derecha. Están en:

para g := 1 a 16. ¿
comenzar
 nivel := -sqr(g/8); { nivel = menos g/8 cuadrado }

Más negro significa más cercana a la máxima. Por supuesto ya sabemos que: $$ F(1,1,1) = 0 \; ; \; F(2,1,0) = 0 \; ; \; F(0,2,1) = 0 \; ; \; F(1,0,2) = 0 $$ Estos lugares están indicados como $\color{blue}{blue}$ manchas en la imagen de la derecha. Así que hay una fuerte evidencia (ipse est NO "rigurosa prueba") $0$ es de hecho el máximo. Mis 2 centavos ..

Las ediciones. La imagen de la derecha aumentada con $\color{green}{green}$ áreas donde $|F(a,b,c)| < 0.1$ .
Si $F(a,b,c)$ es especificado por un borde del triángulo equilátero, entonces podemos hacer algo de trabajo analítico, a pesar de que sigue siendo un modesto intento: $$ f(x) = F(3-x,x,0) = \sqrt{24(3-x)^2x+25}-11 $$ Derivado de cero: $$ f'(x) = \frac{1}{2}24\frac{-2(3-x)x+(3-x)^2}{\sqrt{24(3-x)^2x+25}} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x\in\{3,1\} $$ Dando la conocida mínimo $F(0,3,0)$ y la conocida máxima de $F(2,1,0)$ , con la única diferencia de que estos son ahora demostrado único, en el triángulo de los bordes.
Con el fin de demostrar que el problema no es "tan fácil", vamos a especificar de nuevo, para una línea a través de un vértice del triángulo $(3,0,0)$ y el punto medio $(1,1,1)$: $$ g(x) = F(3-2x,x,x) = \sqrt{24(3-2x)^2x+25}+\sqrt{24x^3+25}+\sqrt{x^2(3-2x)+25}-21 $$ Entonces, ya podemos saber que una solución de $g'(x)=0$ está dado por $F(1,1,1)=0$. Pero, si este se alimenta de ARCE , entonces todo lo que tengo es un interminable bucle:

> solve(diff(g(x),x)=0,x);
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