Interrelaciones de los módulos elásticos para materiales isótropos homogéneos

Question

La ecuación clásica para el Módulo de Young en la teoría de la elasticidad para un material isótropo homogéneo en una dimensión se da comúnmente en el formulación

$$E = \frac{\sigma}{\epsilon} \quad,$$

con $\sigma$ como la tensión uniaxial, y $\epsilon$ como parámetro de deformación adimensional.

Sin embargo, luego también descubrí que $E$ puede reescribirse en una forma muy diferente en términos de la Constantes de Lamé $\mu$ y $\lambda$ ,

$$E = \frac{\mu \left(3\lambda + 2\mu\right)}{\lambda + \mu}$$ (véase, por ejemplo wikipedia ).

Sin embargo, en un manuscrito no publicado sobre astrofísica estelar, una variante del módulo de masa $K$ que ahora sé que describe la elasticidad volumétrica, es decir, la elasticidad en tres dimensiones, se establece simplemente sin derivación como

$$\begin{equation} K = \rho \cdot\frac{\partial P}{\partial \rho} \quad, \end{equation}$$

con $\rho$ como densidad de masa y $P$ como presión.

Me preguntaba cómo la ecuación de $K$ anterior, para un cuerpo esférico, isotrópico y homogéneo puede ser derivado y si puede ser directamente relacionado o expresado en términos del módulo de Young unidimensional $E$ ?

Answer 1

Una vez que te has cansado de los límites de 1D de la simple Ley de Hooke $$\varepsilon=\frac{\sigma}{E},$$

puede que quieras empezar a trabajar con la Ley de Hooke generalizada

$$\varepsilon_{ij}=\frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}-\frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{ij}$$

(derivación aquí por ejemplo), que es capaz de describir todas las deformaciones elásticas lineales en 3D (de un material isótropo).

Esta ley acopla todos los módulos elásticos isotrópicos que se nos ocurren.

Para relacionar el módulo de Young $E$ al módulo de volumen $K$ Por ejemplo, recordemos que el módulo de volumen relaciona la deformación volumétrica con la presión hidrostática (también conocida como tensión de compresión equitriaxial, donde $\sigma_{xx}=\sigma_{yy}=\sigma_{yy}=-P$ y todas las demás tensiones son nulas):

$$K\equiv -V\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T=\frac{P}{-\Delta V/V},$$

donde el último término es para las condiciones elásticas lineales estándar que son el centro de atención aquí. (Puedes obtener la ecuación de astrofísica que mencionas utilizando la regla de la cadena para escribir $K=-V\left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_T\left(\frac{\partial \rho}{\partial V}\right)_T$ y a continuación se introduce la definición $\rho=\frac{m}{V}$ .)

Podemos relacionar la disminución relativa del volumen con la deformación mediante

$$-\frac{\Delta V}{V}=-[(1+\varepsilon)^3-1]\approx-3\varepsilon,$$

donde el último término asume las pequeñas tensiones que también son el objetivo aquí. A partir de la Ley de Hooke generalizada, estableciendo $j=i$ (para que el delta de Kronecker $\delta=1$ ) y de $\sigma_{kk}= \sigma_{11}+ \sigma_{22} + \sigma_{33}$ (suma de Einstein), tenemos

$$\varepsilon_{ii}=\frac{1-2\nu}{E}\sigma_{ii}.$$

Combinando estas ecuaciones, obtenemos

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu)}$$

y un sentido mucho mejor de cómo se pueden relacionar los módulos elásticos a través de la Ley de Hooke generalizada.

Answer 2

El módulo de volumen en términos de los parámetros de Lame es $$\kappa =\lambda +\frac 23 \mu.$$ No es simplemente proporcional al módulo de Youngs. Al estirar un alambre no sólo lo hacemos más largo, sino que también permitimos que su grosor $W$ para cambiar. Por lo tanto, el módulo de Young necesita conocer la relación de Poisson, que se define por $$\frac{dW}{W}= -\sigma_{\rm Poisson} \frac{dL}{L}$$ y viene dada por $$\sigma_{\rm Poisson}= \frac 12 \frac{\lambda}{\lambda+\mu}.$$ El módulo de volumen sería relevante para el estiramiento, sólo si evitamos que el alambre se haga más fino.