Producto de puntos y complemento ortogonal

Question

Sea V el espacio vectorial de todas las secuencias acotadas de valor real. Entonces para $a,b \in V$ $\langle a,b \rangle :=\sum _{n=1}^{\infty } \frac{a(n) b(n)}{n^2}$ define un producto punto. Encuentra un subespacio $U \subset V$ con $U \neq 0, U \neq V, U^\bot=0$ .

No he encontrado nada que funcione, gracias de antemano. $U^\bot$ es el complemento ortogonal de $U$ en caso de que la notación sea confusa.

Answer 1

Según la petición de Willie, convierto mi comentario en una respuesta:

Las secuencias con sólo un número finito de términos distintos de cero forman un subespacio propio $U$ de $V$ . Para $k \in \mathbb{N}$ dejar $\delta_{k} \in U$ sea la secuencia para la cual $\delta_{k}(k) = 1$ es la única entrada no nula. Ahora calcula el producto escalar (= producto punto) $\langle \delta_{k}, b \rangle$ para todos $k$ para ver que $U^{\perp} = 0$ . En otras palabras: si $b$ es ortogonal a todos los $\delta_{k}$ 's entonces $b$ debe ser cero.