Isomorfismo de la terminación del anillo de polinomios módulo de segundo grado

Question

Dejemos que $k$ sea un campo de característica diferente a $2$ y $A=k[x,y]/(y^2-x^2(x+1))$ . Sea $\hat A$ sea el $(x,y)A$ -Consecución de la meta. ¿Cómo puedo demostrar que $\hat A\simeq k[[u,v]]/(uv)$ ?

Qing Liu: Geometría algebraica y curvas aritméticas , ex. 1.3.10.

Answer 1

En realidad $\hat A=k[[x,y]]/(y^2-x^2(x+1))$ . Ahora, fíjate en que hay $f(x)\in k[[x]]$ tal que $x+1=f(x)^2$ (aquí se necesita la característica $\ne 2$ ). Así que, $y^2-x^2(x+1)=y^2-(xf(x))^2$ Es decir, $y^2-x^2(x+1)=(y-xf(x))(y+xf(x))$ . Ahora sólo hay que realizar un cambio de variables $u=y-xf(x)$ , $v=y+xf(x)$ (aquí también se necesita la característica $\ne 2$ ).

Answer 2

Considere el mapa $\varphi : k[[u,v]]/(uv) \to \widehat{A}$ definido por el envío de (la imagen de) $u$ a $y-x\alpha$ y (la imagen de) $v$ a $y-x\alpha$ donde $\alpha$ es un elemento de $\widehat{A}$ tal que $\alpha^2$ es igual a la imagen de $x^2(1+x)$ . Para demostrar que tal $\alpha$ existe, basta con demostrar que la imagen de $1+x$ es un cuadrado en $\widehat{A}$ lo que equivale a demostrar que $1+x$ es un cuadrado en $k[[x,y]]$ . Demostrar que $\varphi$ es un isomorfismo.