¿Cuál es la diferencia entre ZFC+Grothendieck, ZFC+cardenales inaccesibles y la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck?

Question

Digamos que "U" es el axioma que "Para cada conjunto x, existe un universo de Grothendieck U tal que x $\in$ U", donde los universos de Grothendieck se definen de la forma habitual (o, si no está claro, en de esta manera ). También, digamos que "Ca" es el axioma que "Para cada cardinal , hay un cardinal fuertemente inaccesible $\lambda$ que es estrictamente mayor que ."

Se sabe que ZFC+U y ZFC+Ca son completamente equivalentes y demuestran las mismas sentencias. Una sentencia es un teorema de ZFC+U si es un teorema de ZFC+Ca.

Además de lo anterior, también existe la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck, que se puede encontrar aquí . Los axiomas de la TG son

1. El axioma que afirma que todo es un conjunto
2. El axioma de extensionalidad de ZFC
3. El axioma de regularidad de ZFC
4. El axioma de emparejamiento de ZFC
5. El axioma de unión de ZFC
6. El esquema axiomático de sustitución de ZFC
7. El axioma de Tarski A

El axioma A de Tarski establece que para cualquier conjunto $x$ existe un conjunto $y$ que contiene, $x$ mismo, cada subconjunto de cada miembro de $y$ el conjunto de potencias de cada miembro de $y$ y todo subconjunto de $y$ de cardinalidad inferior a $y$ .

Estos tres axiomas de ZFC se implican entonces como teoremas de TG:

1. El axioma del infinito
2. El axioma del conjunto de potencias
3. El esquema axiomático de la especificación
4. El axioma de la elección

Mi pregunta es la siguiente: ¿es la TG también completamente equivalente a ZFC+U y ZFC+Ca, equivalente en el mismo sentido que algo es un teorema de la TG si es un teorema de las otras dos? ¿Es TG sólo una axiomatización de ZFC+U/ZFC+Ca que elimina los axiomas redundantes y permite que sean sólo teoremas? ¿O hay alguna sutil diferencia entre TG y ZFC+U/ZFC+Ca, en el sentido de que hay alguna sentencia que TG demuestra que es indecidible en ZFC+U/ZFC+Ca o viceversa?

En otras palabras, en lugar de escribir ZFC+Grothendieck, ¿puedo simplemente escribir TG y estar haciendo referencia a una axiomatización diferente de exactamente lo mismo?

Answer 1

Sí. Supongamos ZFC. Si existe una clase propia de cardinales inaccesibles, entonces el axioma A de Tarski se cumple porque siempre que $\kappa$ es inaccesible, el segmento inicial del rango $V_\kappa$ de $V$ es un conjunto Tarski. A la inversa, si el axioma A de Tarski se cumple, entonces para cada conjunto $x$ hay un conjunto Tarski $y$ con $x \in y$ . Demostraremos que $|y|$ es un cardinal inaccesible mayor que $|x|$ demostrando la existencia de una clase propia de cardenales inaccesibles.

Para demostrar que la cardinalidad $\kappa$ de $y$ es un cardinal de límite fuerte, dado $\zeta < \kappa$ tomamos un subconjunto $z$ de $y$ de tamaño $\zeta$ . Tenemos $z \in y$ porque $y$ contiene sus pequeños subconjuntos. Entonces tenemos $\mathcal{P}(z) \in y$ porque $y$ se cierra bajo el funcionamiento del conjunto de potencia. Finalmente $\mathcal{P}(\mathcal{P}(z)) \subset y$ porque $y$ contiene todos los subconjuntos de sus elementos. Esto demuestra que $2^{2^{\zeta}} \le \kappa$ y por lo tanto que $2^{\zeta} < \kappa$ .

Para demostrar que la cardinalidad $\kappa$ de $y$ es regular, observe que si $\kappa$ es singular entonces por el cierre de $y$ bajo pequeños subconjuntos podemos obtener una familia de $\kappa^{cof(\kappa)}$ muchos conjuntos distintos en $y$ , contradiciendo el hecho de que $\kappa^{cof( \kappa)} > \kappa$ (que es una instancia del Teorema de Koenig).