La ecuación $a^3 + b^3 = c^2$ tiene solución $(a, b, c) = (2,2,4)$ .

Question

La ecuación $a^3 + b^3 = c^2$ tiene solución $(a, b, c) = (2,2,4).$ Encuentra 3 soluciones más en enteros positivos. [pista. busca soluciones de la forma $(a,b,c) = (xz, yz, z^2)$

Intento:

Así que traté de usar la pista en relación con el triple que dieron que funcionó. Así que observé que el triple que funcionaba $(2,2,4)$ también podría escribirse como $$2(1,1,2)$$ Así que intenté generalizarlo a $$n(1,1,2)$$ Pensé que esto podría funcionar porque estoy usando el "origen" de donde el triple $(2,2,4)$ vino de. Desgraciadamente, esto no ha funcionado. Así que pregunto qué más podría comsiderar para idear algún sistema para encontrar estos triples? Porque dudo mucho que me pidan que simplemente dispare en la oscuridad y elija números al azar

Answer 1

Si se sustituye por $ (x z, y z, z^2) $ para $ (a,b,c) $ entonces está buscando soluciones para

$ x^3 z^3 + y^3 z^3 = z^4 $

Suponiendo que $ z \neq 0 $ , dividir ambos lados por $ z^3 $

$ x^3 + y^3 = z $

Ahora elige cualquier cosa para $ x $ y $ y $ y esto le da un $ z $ que satisface la ecuación original. $ (2, 2, 4) $ corresponde a $ x = 1 $ , $ y = 1 $ , $ z = 1^3 + 1^3 = 2 $ .

Answer 2

Bueno, puedes y dibujar otra fórmula. $$x^3+y^3=z^2$$

$$x=(b^2-a^2)(b^2+2ba-2a^2)c^2$$

$$y=(b^2-a^2)(2b^2-2ab-a^2)c^2$$

$$z=3(b^2-a^2)^2(a^2-ab+b^2)c^3$$

Lo más interesante allí es que la fórmula que llevó, como no debe dar soluciones mutuamente simples, pero después de sokrasheniya en divisor común se puede obtener y son soluciones relativamente primos. Esto significa que la fórmula en sí describe como relativamente primo así que no. Coprime soluciones - hay soluciones privadas.

ecuaciones $$X^3+Y^3=Z^2$$ Puede expresarse mediante números enteros $p,s,a,b,c$ . donde el número de $c$ caracteriza el grado de primitivismo.

$$X=(3a^2+4ab+b^2)(3a^2+b^2)c^2$$

$$Y=2b(a+b)(3a^2+b^2)c^2$$

$$Z=3(a+b)^2(3a^2+b^2)^2c^3$$

Y más.

$$X=2b(b-a)(3a^2+b^2)c^2$$

$$Y=2b(b+a)(3a^2+b^2)c^2$$

$$Z=4b^2(3a^2+b^2)^2c^3$$

Si decidimos factorizar $$X^3+Y^3=qZ^2$$

Para una notación compacta, sustituimos :

$$a=s(2p-s)$$

$$b=p^2-s^2$$

$$t=p^2-ps+s^2$$

entonces:

$$X=qb(a+b)c^2$$

$$Y=qa(a+b)c^2$$

$$Z=qt(a+b)^2c^3$$

Y la solución más hermosa. Si usamos las soluciones de la ecuación de Pell: $p^2-3a^2s^2=1$

por cierto $a$ Puede aparecer como un factor de decisión y. Entonces las soluciones son de la forma::

$$X=qa(2p-3as)sc^2$$

$$Y=q(p-2as)pc^2$$

$$Z=q(p^2-3aps+3a^2s^2)c^3$$

Si cambiamos el signo : $Y^3-X^3=qZ^2$

Entonces las soluciones son de la forma

$$X=qa(2p+3as)sc^2$$

$$Y=q(p+2as)pc^2$$

$$Z=q(p^2+3aps+3a^2s^2)c^3$$

Otra solución de la ecuación: $X^3+Y^3=qZ^2$

$p,s$ - enteros nos pidieron.

Para facilitar los cálculos hacemos el cambio. $a,b,c$

Si la proporción es la siguiente : $q=3t^2+1$

$$b=2q(q+2\mp{6t})p^2+6q(t\mp1)ps+(q-1\mp{3t})s^2$$

$$c=6q(q-2(1\pm{t}))p^2+6q(t\mp1)ps+3(1\mp{t})s^2$$

$$a=12q(1\mp{t})p^2+6(4t\mp{q})ps+3(1\mp{t})s^2$$

Si la proporción es la siguiente: $q=t^2+3$

$$b=3(q-1)(1\pm{t})s^2+2(3\pm{(q-1)t})ps+(1\pm{t})p^2$$

$$c=3(6-(q-1)(q-3\mp{t}))s^2+6(1\pm{t})ps+(q-3\pm{t})p^2$$

$$a=3(6-(q-1)(1\mp{t}))s^2+6(1\pm{t})ps+(1\pm{t})p^2$$

Entonces las soluciones son de la forma

$$X=2c(c-b)$$

$$Y=(c-3b)(c-b)$$

$$Z=3a(c-b)^2$$

Entonces las soluciones son de la forma

$$X=2(c-b)c$$

$$Y=2(c+b)c$$

$$Z=4ac^2$$

Si la proporción es la siguiente : $q=t^2+3$

$$c=6(q-4)(2\pm{t})p^2+4(6\pm{(q-4)t})ps+2(2\pm{t})s^2$$

$$b=3(24-(q-4)(q-3\mp{2t}))p^2+12(2\pm{t})ps+(q-3\pm{2t})s^2$$

$$a=3(24-(q-4)(4\mp{2t}))p^2+12(2\pm{t})ps+2(2\pm{t})s^2$$

Si la proporción es la siguiente $q=3t^2+4$

$$c=q(-q+7(4\mp{3t}))p^2+6q(t\mp{1})ps+(q-4\mp{3t})s^2$$

$$b=3q(2q-7(1\pm{t}))p^2+6q(t\mp{1})ps+3(1\mp{t})s^2$$

$$a=21q(1\mp{t})p^2+6(7t\mp{q})ps+3(1\mp{t})s^2$$

Entonces las soluciones son de la forma :

$$X=2(3c-2b)c$$

$$Y=2(3c+2b)c$$

$$Z=12ac^2$$

Entonces las soluciones son de la forma :

$$X=(2b-c)b$$

$$Y=(2b+c)b$$

$$Z=2ab^2$$

Answer 3

Esto no es lo que espera su ejercicio.

Con el fin de tener una referencia alrededor, lo siguiente es lo que sabemos sobre la ecuación:

$$x^3 + y^3 = z^2$$

Según $\S 14.3.1$ de Henri's Cohen's Teoría de Números, Vol. II, Herramientas analíticas y modernas ,
las soluciones enteras de la ecuación anterior, sujetas a $\gcd(x,y) = 1$ pueden agruparse en tres familias. Estas familias son disjuntas, en el sentido de que cualquier solución de la ecuación pertenece a una y sólo una familia.

El $s$ y $t$ denotan los enteros coprimos que satisfacen las congruencias correspondientes módulo $2$ y $3$ . Las tres familias/parametrizaciones, hasta el intercambio de $x$ y $y$ son:

$$\begin{align} 1. & \begin{cases} x &= s(s+2t)(s^2-2ts+4t^2)\\ y &= -4t(s-t)(s^2+ts+t^2)\\ z &= \pm(s^2-2ts-2t^2)(s^4+2ts^3+6t^2s^2-4t^3s + 4t^4) \end{cases} & s \text{ is odd },\quad s \not\equiv t \pmod 3\\ \\ 2. & \begin{cases} x &= s^4-4ts^3-6t^2s^2-4t^3s + t^4\\ y &= 2(s^4+2ts^3+2t^3s+t^4)\\ z &= 3(s-t)(s+t)(s^4+2s^3t+6s^2t^2+2st^3+t^4) \end{cases} & s \not\equiv t \pmod 2,\quad s \not\equiv t \pmod 3\\ \\ 3. & \begin{cases} x &= -3s^4 + 6t^2s^2 + t^4\\ y &= 3s^4+6t^2s^2-t^4\\ z &= 6st(3s^4+t^4) \end{cases} & s \not\equiv t \pmod 2,\quad 3 \not| t \end{align} $$ Para más detalles y derivaciones, consulte el libro de Cohen mencionado anteriormente.

Answer 4

Aquí hay un número infinito de soluciones:

Para cualquier número entero positivo $c$ , $x = (1+c^{3})$ , $y =c(1+c^{3})$ , y $z = (1+c^{3})^2 $ .

Compruébalo:

$x^3+y^3 =(1+c^3)^3+(c(1+c^3))^3 =(1+c^3)^3(1+c^3) =(1+c^3)^4 $ y $z^2 =((1+c^{3})^2)^2 =(1+c^{3})^4 $ .

Esto se obtiene de lo siguiente, que es una recreación de un álgebra mía de hace muchos años:

Para encontrar soluciones a $x^n+y^n = z^m$ donde $(n, m) = 1$ .

Desde $(n, m) = 1$ , hay $a$ y $b$ tal que $am-bn = 1$ o $am=bn + 1$ .

Si $x = u^b$ , $y = v^b$ , $z = w^a$ , entonces $u^{bn}+v^{bn} =w^{am} =w^{bn+1} $ .

Dejemos que $v = cu$ . Entonces $u^{bn}+v^{bn} =u^{bn}+(cu)^{bn} =u^{bn}+c^{bn}u^{bn} =u^{bn}(1+c^{bn}) $ .

Si $w = 1+c^{bn}$ , queremos $w^{bn+1} =w\,w^{bn} =wu^{bn} $ o $u = w$ .

Por lo tanto, una solución es $x = (1+c^{bn})^b$ , $y = cu =c(1+c^{bn})^b$ , y $z = (1+c^{bn})^a $ .

Si $n=3$ y $m=2$ , queremos $2a-3b = 1$ . Esto se satisface con $a=2, b=1$ .

Obtenemos $x = (1+c^{3})$ , $y =c(1+c^{3})$ , y $z = (1+c^{3})^2 $ .

Answer 5

Sólo porque a veces se puede ignorar la pista (ja, ja), también se puede obtener una familia de soluciones tomando una solución existente, y multiplicando ambas $x$ y $y$ por $k^2$ y multiplicando $z$ por $k^3$ para algunos $k \in \mathbb{N}, k \geq 2$ .

Por ejemplo, si tomamos $k = 2$ entonces la solución anterior se transforma en

$$ (2, 2, 4) \to (8, 8, 32) $$

y observe que

$$ 8^3+8^3 = 512 + 512 = 1024 = 32^2 $$