Encuentra el valor de la integral $\int_{-i\infty}^{+i\infty}\frac{dq}{2\pi i}\frac{e^{q\lambda}}{\cosh \sqrt{q}-\frac{1}{2}}$

Question

Evalúe la siguiente integral $$ \int_{-i\infty}^{+i\infty}\frac{dq}{2\pi i}\frac{e^{q\lambda}}{\cosh \sqrt{q}-\frac{1}{2}}.$$ Sustituyendo $q=ix$ no me ha llevado a ninguna parte. No se especifica nada sobre $\lambda$ por lo que uno supondría que es alguna constante compleja. Cualquier pista sobre cómo hacer esto sería muy útil.

Gracias

Answer 1

Para $\lambda \gt 0$ , cierran un contorno semicircular a la izquierda del eje imaginario. Puedes utilizar el teorema del residuo para evaluar. Observe que los polos del integrando están todos a lo largo del eje real negativo sólo en $q=-(6 k+1)^2 \pi^2/9$ y $q=-(6 k+5)^2 \pi^2/9$ para $k$ un número entero no negativo. Obsérvese que no hay puntos de ramificación en el integrando. Por lo tanto, podemos simplemente escribir la integral para $\lambda \gt 0$ como

$$\int_{-i \infty}^{i \infty} \frac{dq}{i 2 \pi} \frac{e^{q \lambda}}{\cosh{\sqrt{q}}-\frac12} = \frac{4 \pi}{3 \sqrt{3}} \sum_{k=0}^{\infty} \left [(6 k+1) e^{-(6 k+1)^2 \pi^2 \lambda/9} - (6 k+5) e^{-(6 k+5)^2 \pi^2 \lambda/9} \right ]$$

Para $\lambda \lt 0$ , uno se cierra a la derecha. Como allí no hay polos, la integral es cero.