Hace poco me encontré con la siguiente tarea:
Utilice el análisis de estabilidad de von-Neumann para investigar la estabilidad de la forma discreta de $\frac{\partial c}{\partial x} = \frac{\partial^2 c}{\partial y^2}$ . Utilice la diferencia finita de primer orden para la derivada de primer orden y el esquema de diferencia central habitual para la derivada de segundo orden. Puede utilizar la notación $c_{i, j} = c(ih, jh)$ . El tamaño de malla correspondiente $h$ es el mismo en ambos $x$ - y $y$ -Dirección. ¿Qué restricción surge para el tamaño de la malla $h$ ?
Una pista: el vector $f_k(jh) = \sin(k \pi x)$ , $j = 0, \dots, N$ es un vector propio de la expresión en diferencias finitas para la derivada de segundo orden. El valor propio correspondiente viene dado por $\lambda_k = \frac{2}{h^2}(\cos(\pi kh) - 1)$ .
Estoy completamente confundido. He visto un ejemplo clásico cuando se aplica el Análisis de Estabilidad de Von Neumann a la ecuación de calor 1D $\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$ y fue bastante sencillo. Sin embargo, esta tarea pide aplicar este análisis a un problema estacionario, por lo que no estoy seguro de cómo definir el factor de amplificación. ¿Debe ser simplemente $1$ ? En segundo lugar, ahora es 2D, y no sé cómo incorporar este hecho al método. Por último, me confunde la pista: no entiendo ni lo que indica ni cómo utilizarla.
Lo único que puedo hacer actualmente es discretizarlo:
$$ 2c_{i + 1, j} = c_{i, j - 1} + c_{i, j + 1} $$
Entonces, ¿cómo puedo realizar el análisis correctamente en este caso? Le agradezco su ayuda.
