¿Cuántas gráficas desconectadas del cubo de Rubik existen?

Question

Digamos que un cubo de Rubik en una configuración determinada se encuentra en un "estado" concreto. Todas las demás configuraciones de este cubo (otros "estados"), que pueden alcanzarse mediante rotaciones del cubo, pueden considerarse conectadas entre sí... las rotaciones son como recorrer las aristas del grafo donde los diferentes estados son los vértices.

Ahora bien, si nuestro cubo de Rubik es de los que podemos despegar las pegatinas fácilmente y volver a ponerlas también, entonces podemos intercambiar 2 de las pegatinas en una esquina.

Entiendo que el cubo ya no se puede resolver. Nuestro cubo se ha movido a un nuevo estado que está desconectado del anterior gráfico construido anteriormente. Además, todos los estados alcanzables desde este nuevo estado también están desconectados del otro gráfico. (de lo contrario, el cubo sería solucionable). Así que ahora tenemos dos gráficos que están desconectados el uno del otro. Un tercer conjunto de estados podría estar desconectado de los dos estados anteriores.

Para todas las posibles asignaciones de color razonables (por razonables, me refiero a preservar el número de fichas para cada color=9), ¿cuántos de estos gráficos desconectados existen para un cubo de Rubik de 3x3x3?

Answer 1

Todos los componentes conectados son grupos isomorfos, por lo que se pueden considerar clases de equivalencia del mismo tamaño.

Ahora sabemos el tamaño de una de las clases (es decir, la que contiene el cubo resuelto). En wikipedia :

$$|N_1| = 8! \times 3^7 \times \frac{12!}{2} \times 2^{11}$$

Dejemos que $|states|$ sea el número total de estados que considera. Entonces el número de clases de equivalencia o componentes conectados es:

$$ \frac{|states|}{|N_1|}$$

En primer lugar, si sólo se consideran los casos en los que se pueden mover cubos individuales cubos individuales, entonces el número de estados es $$|states_1| = 8! \times 3^8 \times 12! \times 2^{12}$$ Y por lo tanto $$ \frac{|states_1|}{|N_1|} = 3 \times 2 \times 2 = 12$$

En su caso, en el que permite mover las pegatinas, el número de estados es mucho mayor. Creo que se calcula de la siguiente manera:

$$ |states_2| = \frac{\text{total permutations}}{\text{cube rotational symetries}} = \frac{6! \times 24! \times 24! }{24}$$

Por lo tanto, su respuesta debería ser:

$$ \frac{|states_2|}{|N_1|} = \frac {6! \times 24! \times 23! } {8! \times 3^7 \times 12! \times 2^{12}}$$

Answer 2

Se puede calcular utilizando el lema de Burnside, http://en.wikipedia.org/wiki/Burnside%27s_lemma Una vez que conozcas el grupo de transformaciones del cubo de Rubik.