Por lo que estoy un poco confundido sobre la convergencia sobre el $p$ -números de la época-, por ejemplo, yo argumentaría que $\frac{1}{5^n}$ no es convergente sobre $\mathbb{Q}_5$ desde $|\frac{1}{5^n}|_p = 5^n$ que no es convergente sobre $\mathbb{R}$ pero creo que he cambiado a los reales demasiado pronto. No estoy seguro de la intuición - son $n$ , $n!$ convergente sobre $\mathbb{Q}_5$ ?
Gracias.
Ser pequeño es ser divisible por una potencia alta de $p$ . Así que, efectivamente $\frac1{p^n}$ parece pequeño al ojo "real", pero es $p$ -adicalmente grande - la secuencia $(\frac1{5^n})$ no converge en los 5 adics.
La secuencia $(n)$ no converge. En contiene números pequeños (como $3125$ ) de vez en cuando, pero también los no múltiplos de $5$ (es decir, números de tamaño medio, o tan grandes como puedan para los enteros).
La secuencia $(n!)$ finalmente converge a $0$ porque los términos son cada vez más pequeños (más factores de $5$ )
Tienes razón; $p^n$ diverge como $n\to-\infty$ y converge a $0$ como $n\to+\infty$ en $\Bbb Q_p$ .
Para que una secuencia de enteros converja en $\Bbb Q_p$ una condición necesaria es que el $p$ -las valoraciones de los términos deben estabilizarse eventualmente en alguna secuencia constante o tender a $+\infty$ . ¿Puedes argumentar por qué esto debe ser cierto? ¿Qué puede decir sobre los exponentes de $p$ en $n$ o $n!\,$ ?
(Además, un dato curioso: lo último que he oído es que la ir/racionalidad de $\sum\limits_{n=1}^\infty n!$ no se conoce en $\Bbb Q_p$ para cualquier $p$ .)
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