¿Por qué los equilibrios de Nash dentro del Simplex S_n son únicos?

Question

Hola,

Me encontré con una observación que dice que los equilibrios nash dentro del simplex S_n son únicos. O dicho de otra manera: Si hay más de un equilibrio de este tipo, entonces tienen que estar en la frontera de S_n. ¿Por qué es esto cierto?

Gracias

Answer 1

Aquí hay dos afirmaciones verdaderas como ésta. Asumo que estamos hablando de juegos de dos jugadores con conjuntos de estrategias finitas. Sea el número de estrategias de los dos jugadores $p$ y $q$ .

• Para una matriz de pagos genérica, existe como máximo un equilibrio de Nash en el interior del espacio de estrategias. Más precisamente, esto es cierto en un subconjunto abierto de Zariski de $\mathbb{R}^{2pq}$ .

• Para cualquier matriz de pagos, el espacio de equilibrios de Nash en el interior del espacio de estrategias está conectado. En particular, es imposible tener dos equilibrios interiores aislados.

Dejemos que $\Delta^{p-1}$ sea el simplex de la estrategia del primer jugador, y $\Delta^{q-1}$ para el segundo jugador. Dejemos que $P$ y $Q$ sean las funciones de pago para cada jugador. Nuestro objetivo es entender aquellos puntos en el interior de $\Delta^{p-1} \times \Delta^{q-1}$ que son equilibrios de Nash.

Supongamos que $(x,y)$ es un equilibrio interior. Ahora, $Q(x,y)$ es lineal en $y$ . La única forma de optimizar una función lineal en un punto interior es que $Q$ es constante en función de $y$ . La condición de que $Q$ sea constante en función de $y$ viene dada por $q-1$ ecuaciones lineales en el $x$ variables. También hay una ecuación más: $\sum x_i =1$ . Del mismo modo, exigir que $x$ sea un óptimo interior da $(p-1)+1$ ecuaciones lineales en el $y$ variables.

Si nuestra matriz de pagos es genérica, entonces estas ecuaciones son independientes. Tenemos $q$ ecuaciones en $p$ variables y $p$ ecuaciones en $q$ variables. Si $p \neq q$ entonces uno de estos conjuntos de ecuaciones no tendrá solución. Si $p=q$ entonces hay una solución en $\mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^q$ . Si tiene entradas positivas, entonces es el único equilibrio interior. Si algunas de las entradas son negativas, entonces no hay ningún equilibrio interior.

Incluso sin la suposición de que la matriz de pagos es genérica, el subconjunto de $\Delta^{p-1}$ donde se cumplen algunas ecuaciones lineales es un poliedro $K$ . Del mismo modo, el subconjunto de $\Delta^{q-1}$ donde se cumplen algunas ecuaciones lineales es un poliedro $L$ . Por lo tanto, el conjunto de equilibrios interiores siempre tiene el aspecto siguiente $K \times L$ .

Answer 2

Tal vez esté entendiendo mal algo, pero esto no puede ser cierto con tanta generalidad. De hecho, si la función de utilidad es constante, entonces cada punto es un equilibrio. Para tener unicidad, se necesita alguna propiedad adicional como la concavidad estricta o similar. Por ejemplo, puedes echar un vistazo a estas diapositivas http://www.arts.cornell.edu/econ/guerdjikova/teaching/gth2006/ecinf_files/lecture9.pdf sólo para tener un sabor.

Answer 3

Hola,

Ambas respuestas son muy útiles. Siguiendo el comentario de Valerios, busqué propiedades adicionales y descubrí que el autor del texto que estaba leyendo se refería a una clase especial de equilibrios de Nash llamados estrategias evolutivas estables (ESS). Para estas ESS la afirmación fue demostrada por Haigh (1975). Por lo tanto, tengo que pedir disculpas por la falsa afirmación en mi pregunta.

Gracias por nuestras respuestas.