Comportamiento de continuidad de una función de onda cuando el potencial presenta una discontinuidad

Question

Si un potencial $V(x,t)$ presenta una discontinuidad finita en el espacio, la función de onda $\phi(x,t)$ y su derivada espacial será continua.

Si un potencial presenta una discontinuidad finita en el tiempo, la función de onda $\phi(x,t)$ es continua pero la derivada temporal será discontinua.

¿Alguien puede explicar por qué esto es así?

Answer 1

Esto se debe a que la ecuación de Schrödinger es de segundo orden en el espacio y de primer orden en el tiempo, $$ i \hbar \partial_t \psi = \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi + V \psi \, .$$ Imagina una función de onda que es constante en el tiempo. Entonces, su segundo La derivada es proporcional al potencial discontinuo. Las derivadas cero y primera pueden seguir siendo continuas. Por otro lado, si la función de onda es constante en el espacio, es la primero derivada del tiempo que es proporcional al potencial discontinuo.