Cocientes de $L_1$

Question

Conozco el hecho bastante estándar en la teoría de los espacios de Banach de que todo espacio de Banach separable es un cociente de $\ell_1$ . ¿Es cierto que todo espacio de Banach (posiblemente no separable) es un cociente de algún $L_1$ ¿espacio?

Answer 1

Dejemos que $D $ sea un subconjunto denso de $S_X $ . Definir $T\colon \ell^1(D)\to X$ por $$ T((a_d)_{d\in D}) := \sum_d a_d d $$ Entonces $T $ mapea la bola unitaria abierta de $\ell^1 (D) $ sobre la de $X $ por lo que es un mapa cociente.