Si $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R $ tal que $f(x^2+x)+2f(x^2-3x+2) = 9x^2-15x$ . Encuentre $f(2016)$ .

Question

Determinar todos los $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R $ tal que $$f(x^2+x)+2f(x^2-3x+2) = 9x^2-15x$$ para todos $x$ . Encuentre $f(2016)$ .

Un problema similar apareció en este sitio antes: $f(x^2 + x)+2f(x^2 - 3x + 2)=9x^2 - 15x$ entonces encuentra $f(2016)$ . (La pregunta ya está borrada.) El mismo problema de encontrar $2011$ (en lugar de $2016$ ) apareció en Olimpiada Matemática de Singapur 2011 como el problema 17 ( La máquina del retroceso ).

He intentado poner $x=0,1$ y consiguió \begin{align*} f(0)+2f(2)&=0\\ f(2)+2f(0)&=-6 \end{align*} que me da $f(0)=-4$ , $f(2)=2$ .

Del mismo modo, si observamos que $x^2+x=x^2-3x+2$ se mantiene para $x=\frac12$ podemos encontrar el valor en el punto $\frac34=\left(\frac12\right)^2+\frac12$ .

Pero lo anterior no parece servir para otros valores.

Muchas gracias por la ayuda.

Answer 1

Podemos calcular esto también de forma más general, para obtener la función que propone Mohammad. Tenemos: $x^2+x=a \Rightarrow x_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{4a+1}}{2}$ y $x^2-3x+2=a \Rightarrow x_{3,4}=\frac{3}{2}\pm\frac{\sqrt{4a+1}}{2}$ .

Ahora vamos a utilizar el hecho de que $x_{1,2}+x_{4,3}=1$ y fíjate en el cambio del índice por el segundo término.

Enchufando $x=x_{1,2}$ en la ecuación, obtenemos:

$$ f(a)+2f(x_{4,3}^2-2x_{4,3}+1-3+3x_{4,3}+2)=9x_{1,2}^2-15x_{1,2} $$ $$ f(a)+2f(a-2+4x_{4,3})=9x_{1,2}^2-15x_{1,2} $$

y al enchufar $x=x_{4,3}$ en la ecuación, obtenemos: $$ f(x_{1,2}^2-2x_{1,2}+1+1-x_{1,2})+2f(a)=9x_{4,3}^2-15x_{4,3} $$ $$ f(a+2-4x_{1,2})+2f(a)=9x_{4,3}^2-15x_{4,3} $$

Podemos ver fácilmente que $a+2-4x_{1,2}=a-2+4x_{4,3}=t$ y tenemos que resolver el sistema de ecuaciones:

$$ f(a)+2f(t)=9x_{1,2}^2-15x_{1,2} $$ $$ f(t)+2f(a)=9x_{4,3}^2-15x_{4,3} $$

La suma de todos ellos nos da: $$ 3(f(a)+f(t))=9(x_{1,2}^2+x_{4,3}^2)-15(x_{1,2}+x_{4,3})=9(1-2x_{1,2}x_{4,3})-15 $$ $$ f(a)+f(t)=3(1-2x_{1,2}(1-x_{1,2}))-5=6x_{1,2}^2-6x_{1,2}-2 $$

Restándolos nos da: $$ f(a)-f(t)=9(x_{4,3}^2-x_{1,2}^2)-15(x_{4,3}-x_{1,2})=9(x_{4,3}-x_{1,2})(x_{4,3}+x_{1,2})-15(x_{4,3}-x_{1,2}) $$ $$ f(a)-f(t)=9(x_{4,3}-x_{1,2})-15(x_{4,3}-x_{1,2})=6(x_{1,2}-x_{4,3})=12x_{1,2}-6 $$

Si ahora sumamos estas dos ecuaciones obtenemos la solución: $$ 2f(a)=(6x_{1,2}^2-6x_{1,2}-2)+(12x_{1,2}-6)=(6x_{1,2}^2+6x_{1,2})-8=6a-8 $$

Y por último: $f(a)=3a-4$

Answer 2

Denota: $x^2+x=a$ . Entonces: $$f(a)+2f(a-4x+2)=9a-24x.$$ Enchufe $x=\frac12$ para conseguirlo: $$f(a)+2f(a)=9a-12 \Rightarrow f(a)=3a-4.$$ Por lo tanto: $$f(2016)=3\cdot 2016-4=6044.$$

Answer 3

Una pista.

Como $x^2-3x+2 = (x-2)^2+(x-2)$ llamando a $F(x) = f(x^2+x)$ tenemos

$$ F(x)+2F(x-2)=3x(3x-5) $$