Si $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R $ tal que $f(x^2+x)+2f(x^2-3x+2) = 9x^2-15x$ . Encuentre $f(2016)$ .

Question

Determinar todos los $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R $ tal que $$f(x^2+x)+2f(x^2-3x+2) = 9x^2-15x$$ para todos $x$ . Encuentre $f(2016)$ .

Un problema similar apareció en este sitio antes: $f(x^2 + x)+2f(x^2 - 3x + 2)=9x^2 - 15x$ entonces encuentra $f(2016)$ . (La pregunta ya está borrada.) El mismo problema de encontrar $2011$ (en lugar de $2016$ ) apareció en Olimpiada Matemática de Singapur 2011 como el problema 17 ( La máquina del retroceso ).

He intentado poner $x=0,1$ y consiguió \begin{align*} f(0)+2f(2)&=0\\ f(2)+2f(0)&=-6 \end{align*} que me da $f(0)=-4$ , $f(2)=2$ .

Del mismo modo, si observamos que $x^2+x=x^2-3x+2$ se mantiene para $x=\frac12$ podemos encontrar el valor en el punto $\frac34=\left(\frac12\right)^2+\frac12$ .

Pero lo anterior no parece servir para otros valores.

Muchas gracias por la ayuda.

Answer 1

Primero (observación):

Obsérvese que podemos determinar $f(0), f(2)$ fácilmente: $$ x=0 \qquad \rightarrow \qquad f(0)+2f(2)=0;\\ x=1 \qquad \rightarrow \qquad f(2)+2f(0)=-6; $$ así que $$ f(0)=-4,\quad f(2)=2. $$

De la misma manera podemos determinar $f(6), f(20)$ (sustituyendo $x=-3, x=4$ ).
De la misma manera podemos determinar $f(56), f(30)$ (sustituyendo $x=-6, x=7$ ).
...

Segundo (solución):

Centrémonos en $x=-a, x=a+1$ , donde $a\in\mathbb{R}$ : $$ x=-a \qquad \rightarrow \qquad f(a^2-a)+2f(a^2+3a+2) = 9a^2+15a; \\ x=a+1 \qquad \rightarrow \qquad f(a^2+3a+2)+2f(a^2-a) = 9a^2+3a-6; $$

por lo que (cuando se denota $A=f(a^2-a)$ , $B=f(a^2+3a+2)$ ): $$ \left\{ \begin{array}{l}A+2B = 9a^2+15a; \\ B+2A = 9a^2+3a-6;\end{array} \right.$$ $$ \left\{ \begin{array}{l}B+A = 6a^2+6a-2;\\ B-A = 12a+6;\end{array} \right. $$ y $$ \left\{ \begin{array}{l}f(a^2-a) = A = 3a^2-3a-4; \\ f(a^2+3a+2) = B = 3a^2+9a+2. \end{array}\right.\tag{1} $$

Desde $(1)$ concluimos que para cada $z$ que puede escribirse de la forma $$ z = a^2-a, \qquad a \in\mathbb{R} \tag{2} $$ (de hecho, para $z\ge -\frac{1}{4}$ ) tenemos $$ f(z) = 3z-4. $$ Por lo tanto, $f(z)$ es lineal función para $z\ge -\frac{1}{4}$ .

Desde $z=2016$ admite la representación $(2)$ entonces $f(2016)=3\cdot 2016-4 = 6044.$

Answer 2

Sustituir $x$ por $1-x$ y entonces puedes ver cómo se transforma la ecuación (dejaré que lo veas tú mismo). Luego resuelves las ecuaciones. Dime si necesitas más ayuda.

Answer 3

En primer lugar, resolvemos $x^2 + x = 2016$ y (por separado) $x^2 - 3x + 2 = 2016$ y anotar las soluciones. A continuación, observe que, afortunadamente,

Cuando $x = \dfrac{-1 - \sqrt{8065}}{2}$ :

1. $x^2 + x = 2016$
2. $x^2 - 3x + 2 = 2020 + 2\sqrt{8065} = a$ (decir)
3. $9x^2 - 15x = 18156 + 12\sqrt{8065}$

$$f(2016) + 2f(a) = 18156 + 12\sqrt{8065}$$

Cuando $x = \dfrac{3 + \sqrt{8065}}{2}$ :

1. $x^2 + x = a$
2. $x^2 - 3x + 2 = 2016$
3. $9x^2 - 15x = 18144 + 6\sqrt{8065}$ .

$$f(a) + 2f(2016) = 18144 + 6\sqrt{8065}$$

De las dos ecuaciones, $$4f(2016) - f(2016) = 2(18144) - 18156$$

$$\boxed{f(2016) = 6044}$$

Answer 4

Consideremos una función lineal $ f(x)=ax+b$

$$ f(x^2+x) = ax^2+ax+b$$

$$ f(x^2-3x+2)= ax^2-3ax +2a+b$$

$$ f(x^2+x)+2f(x^2-3x+2)=3ax^2-5ax +4a+3b = 9x^2 -15x$$

$$a=3, b=-4$$ $$ f(x) = 3x-4$$

$$f(2016)=6044$$

Answer 5

Suponiendo que $f $ es un polinomio, considera el cuadro de grados:

Si $ \deg [f (x)]=n $ entonces $\deg [f (ax^2+bx+c)]=2n$ y en el lado derecho tenemos $\deg [9x^2+15x]=2$

Así que al resolver $2n=2$ tenemos que el grado de $f=1$ ......Esto demuestra que se puede asumir $f $ tiene la forma

$$f (x)=ax+b $$