Resolver enteros $x, y, z$ tal que $x + y = 1 - z$ y $x^3 + y^3 = 1 - z^2$.

Question

Resolver para los números enteros $x, y, z$ tal que $x + y = 1 - z$$x^3 + y^3 = 1 - z^2$.

Creo que tendremos que utilizar la teoría de los números para hacerlo. Simplemente la resolución de las ecuaciones de no hacer.

Si dividimos la segunda ecuación por la primera, obtenemos: $$x^2 - xy + y^2 = 1 + z$$

También, ya que son números enteros $z^2 \ge z \implies -z^2 \le -z$. Esto implica $x + y = 1 - z \ge 1 - z^2 = x^3 + y^3$. Esto muestra que al menos uno de $x$ $y$ es negativo con el inverso aditivo de los negativos, siendo más grande que la de los positivos.

He intentado pero no soy capaz de seguir adelante. Me pueden ayudar con esto?

Gracias.

Answer 1

Una identidad general que es bueno saber $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2).$$ Dado que el $x+y=1-z$ $x^3+y^3=1-z^2$ tenemos $z=1-x-y$ y por lo tanto $$x^3+y^3=1-z^2=(1-z)(1+z)=(x+y)(2-x-y).$$ Esto significa que cualquiera de $x+y=0$, lo $y=-x$$z=1$, o $$x^2-xy+y^2=2-x-y.$$ Esta es una ecuación cuadrática en $x$, y cuadráticas son fáciles. Aplicando la fórmula cuadrática de los rendimientos $$x=\frac{y-1\pm\sqrt{(1-y)^2-4(y^2+y-2)}}{2}=\frac{1}{2}\left(y-1\pm\sqrt{-3(y+3)(y-1)}\right),$$ y para estos $x$ a ser enteros, necesitamos $-3(y+3)(y-1)$ a ser un cuadrado, así que sin duda este debe ser no negativo. De ello se sigue que $$y\in\{-3,-2,-1,0,1\},$$ y estos pocos casos se puede comprobar con la mano. Para $(x,y,z)$ encontramos las soluciones $$(-2,-3,6),\ (-3,-2,6),\ (0,-2,3),\ (-2,0,3),\ (1,0,3),\ (0,1,3),$$ y $(x,-x,1)$ todos los $x\in\Bbb{Z}$ de los de antes.

Answer 2

La sustitución de la primera en el segundo da $$x^3+y^3+(x+y)^2-2(x+y)=0$$ por lo $x+y=0$ (lo $z=1$) o $$x^2-xy+y^2+x+y-2=0,$$ es decir, $$\left(x+\frac12-\frac y2\right)^2+\frac34(y+1)^2-3=0$$ por lo $(y+1)^2\leq4$, que deja a la verificación de $y\in\{-3,-2,-1,0,1\}$.

Todas las soluciones están dadas por $$\begin{align*}(x,y,z)\in\{&(a,-a),\;a\in\mathbb Z,&&(z=1)\\ &(-2,-3),&&(z=6)\\ &(-3,-2),(0,-2),&&(z=6,z=3)\\ &(-2,0),(1,0),&&(z=3,z=0)\\ &(0,1)&&(z=0)\}\end{align*}$$

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Tal vez una explicación de cómo llegué $\left(x+\frac12-\frac y2\right)^2+\frac34(y+1)^2-3=0$. Esto se llama Completando el cuadrado:

A partir de $x^2-xy+y^2+x+y-2=0$ primer deshacerse del término lineal en $x$. El uso de $x^2+x=(x+\frac12)^2-\frac14$ nos encontramos con: $$\left(x+\frac12\right)^2-\frac14-xy+y^2+y-2=0.$$ Deje $X=x+\frac12$. Tenemos $$X^2-\frac14-Xy+\frac y2+y^2+y-2=0.$$ Ahora queremos deshacernos de la mezcla de plazo (por el momento no nos preocupamos de los términos adicionales en $y$ o términos constantes). El uso de $X^2-Xy=(X-\frac y2)^2-\frac{y^2}4$ nos encontramos con: $$\left(X-\frac y2\right)^2-\frac{y^2}4-\frac14+\frac y2+y^2+y-2=0.$$ Ahora nos quedamos sólo con los términos de $y$: $\frac34y^2+\frac32y-\frac94$. El uso de $y^2+2y=(y+1)^2-1$ nos encontramos con: $$\frac34y^2+\frac32y-\frac94=\frac34(y+1)^2-\frac34-\frac94.$$ Así que, finalmente, $$\left(X-\frac y2\right)^2+\frac34(y+1)^2-3=0;\qquad X=x+\frac12.$$

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Nota: el Uso de esta técnica, cualquier (no homogénea) binario ecuación cuadrática $$ax^2+bxy+cy^2+\text{linear and constant terms}=0$$ con un valor distinto de cero discriminante $D=b^2-4ac$ puede escribirse en la forma $$U^2-DV^2=c$$ donde $U$ es lineal (mejor: afín a) la función de $x$$y$, e $V$ es una función afín de $y$. Si $D<0$ (como fue el caso aquí), la ecuación tiene sólo un número finito de soluciones. Se puede demostrar que si $D>0$ ha $0$ o $\infty$ soluciones (en ese caso lo que llamamos una Pell tipo de ecuación o algo).

Si $D=0$ las cosas se ponen feas.

Geométricamente, estas corresponden a encontrar entero puntos de una elipse si $D<0$, una hipérbola si $D>0$ y una parábola o una unión de más de dos líneas, si $D=0$.

Answer 3

$$y=-x, z=1$$

$${y = \frac{-1 + x - \sqrt{3} \sqrt{3 - 2 x - x^2}}{2}, z = \frac{3 - 3 x + \sqrt{3} \sqrt{3 - 2 x - x^2}}2}$$

$${y = \frac{-1 + x + \sqrt{3} \sqrt{3 - 2 x - x^2}}{2}, z = \frac{3 - 3 x - \sqrt{3} \sqrt{3 - 2 x - x^2}}2}$$

Todas las soluciones de enteros:

$x=-3, y=-2, z=6$

$x=-2, y=-3, z=6$

$x=-2, y=0, z=3$

$x=0, y=-2, z=3$

$x=0, y=1, z=0$

Answer 4

x = 1,

y = 0,

y z = 0.

o

x = 0,

y = 1,

y z=0.and muchos más solución posible.