Si $\int_0^1f(x)g(x)dx=0$ para todos $g$ tal que $g(0)=g(1)=0$ entonces $f=0$ .

Question

Supongamos que $f:[0,1]\to\Bbb R$ es una función continua tal que $$\int_0^1f(x)g(x)dx=0$$ para todas las funciones continuas $g:[0,1]\to\Bbb R$ tal que $g(0)=g(1)=0$ . Necesito demostrar que $f(x)=0$ para todos $x\in[0,1]$ .

Mi intento: No estoy seguro de cómo hacerlo. Sé cómo hacerlo cuando consideramos todas las funciones de $[0,1]$ a $\Bbb R$ porque en ese caso podemos tomar $g(x)=f(x)$ y luego $\int_0^1f(x)^2dx=0$ implica que $f(x)^2=0$ para todos $x$ desde $f(x)^2$ es continua y no negativa. Por lo tanto, $f(x)=0$ para todos $x$ . Pero ahora si $f$ no es cero en $t=0$ y $t=1$ ¿qué podemos hacer?

Answer 1

Toma $g\left(x\right)=f\left(x\right)\left(x-x^{2}\right)$ . Entonces $$\int_{0}^{1}f^{2}\left(x\right)\left(x-x^{2}\right)dx=0$$ ahora para el teorema del valor medio de las integrales tenemos que existe algún $c\in\left(0,1\right)$ tal que $$\left(c-c^{2}\right)\int_{0}^{1}f^{2}\left(x\right)dx=0$$ y así $f\equiv0$ .

Answer 2

Tome una secuencia de funciones continuas $g_n:[0,1]\to\Bbb R$ tal que $g_n=f$ en el intervalo $[1/n,1-1/n]$ y $g_n(0)=g_n(1)=0$ . Por ejemplo, puede obtenerlo tomando una línea de $(0,0)$ a $(1/n,f(1/n))$ , entonces toma $f$ y luego tomar una línea de $(1-1/n,f(1-1/n))$ a $(1,0)$ . Entonces, $$\int_0^1f(x)g_n(x)dx=0,\quad\forall n\in\Bbb N$$ por suposición. Por lo tanto, $$\int_0^1f(x)^2dx=\int_0^{1/n}f(x)^2dx+\int_{1-1/n}^nf(x)^2dx-\int_0^{1/n}f(x)g_n(x)dx-\int_{1-1/n}^nf(x)g_n(x)dx\tag{1}$$ para todos $n$ . Queremos demostrar que el límite como $n\to\infty$ del lado derecho es cero.

Desde $f$ es continua en $[0,1]$ está limitado por algún número $M>0$ . Además, por nuestra construcción de $g_n$ también tenemos $|g_n(x)|\leq M$ para todos $x$ . Así, $$\left|\int_0^{1/n}f(x)g_n(x)dx\right|\leq\int_0^{1/n}|f(x)||g_n(x)|dx\leq \int_0^{1/n}M^2dx=\frac{M^2}{n}\to 0,$$ como $n\to\infty$ . Un cálculo similar funciona para cada término del lado derecho de $(1)$ . Así, tomando el límite como $n\to\infty$ obtenemos $$\int_0^1f(x)^2dx=0,$$ y como usted dijo, esto implica que $f(x)=0$ para todos $x\in[0,1]$ .