Funciones anidadas

Question

Suponiendo que tenemos alguna función $L(x)$ tal que $L(x) = x - \frac{x^2}{4}.$ Ahora, define $a_n$ como $$L \Bigl( L \Bigl( L \Bigl( \cdots L \Bigl( \frac{17}{n} \Bigr) \cdots \Bigr) \Bigr) \Bigr),$$ donde tenemos $n$ iteraciones de $L.$ Mi pregunta aquí es, ¿qué valor tiene $n \cdot a_n$ enfoque como $n$ se acerca al infinito?

Intenté encontrar algún tipo de patrón pero se volvió desagradable rápidamente. Luego traté de encontrar algunos valores pequeños y probarlos, pero no funcionaron del todo. ¿Cómo debería enfocar este problema? Gracias.

Answer 1

Me gustaría publicar la solución que se me ocurrió.

Tenga en cuenta que $0 < L(x) < x$ para $0 < x < 2.$ Suponiendo que $n$ es suficientemente grande, es decir $n \ge 9,$ tenemos que $0 < a_n < \frac{17}{n} < 2.$

Desde $L(x) = x - \frac{x^2}{2},$ podemos escribir $$\frac{1}{L(x)} = \frac{1}{x - \frac{x^2}{2}} = \frac{2}{2x - x^2} = \frac{2}{x(2 - x)} = \frac{x + (2 - x)}{x(2 - x)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2 - x},$$ así que $$\frac{1}{L(x)} - \frac{1}{x} = \frac{1}{2 - x} \quad (*).$$ Para un número entero no negativo $k,$ dejar $L^{(k)}(x)$ denotan el $k$ iteración de $L(x).$ Entonces $0 < L^{(k)}(x) < x,$ así que $$0 < L^{(k)} \left( \frac{17}{n} \right) \le \frac{17}{n}.$$ Por lo tanto, $$\frac{1}{2} < \frac{1}{2 - L^{(k)} (\frac{17}{n})} \le \frac{1}{2 - \frac{17}{n}} = \frac{n}{2n - 17}.$$ Por ecuación $(*),$ $$\frac{1}{L^{(k + 1)} (\frac{17}{n})} - \frac{1}{L^{(k)} (\frac{17}{n})} = \frac{1}{2 - L^{(k)} (\frac{17}{n})},$$ así que $$\frac{1}{2} < \frac{1}{L^{(k + 1)} (\frac{17}{n})} - \frac{1}{L^{(k)} (\frac{17}{n})} \le \frac{n}{2n - 17}.$$ Suma de $0 \le k \le n - 1,$ obtenemos $$\frac{n}{2} < \frac{1}{L^{(n)} (\frac{17}{n})} - \frac{1}{\frac{17}{n}} \le \frac{n^2}{2n - 17}.$$ Desde $a_n = L^{(n)} \left( \frac{17}{n} \right),$ esto se convierte en $$\frac{n}{2} < \frac{1}{a_n} - \frac{n}{17} \le \frac{n^2}{2n - 17}.$$ Dividiendo por $n,$ obtenemos $$\frac{1}{2} < \frac{1}{na_n} - \frac{1}{17} \le \frac{n}{2n - 17}.$$ Como $n$ se acerca al infinito, $\frac{n}{2n - 17}$ se acerca a $\frac{1}{2},$ por lo que si $L$ es el límite de $na_n,$ entonces $$\frac{1}{L} - \frac{1}{17} = \frac{1}{2}.$$ Resolviendo, encontramos $L = \boxed{\frac{34}{19}}.$

Gracias a las personas que me ayudaron con este problema.

Answer 2

Esta no es una respuesta completa, sólo un comentario. Pido disculpas por publicarlo como respuesta, pero quería subir una imagen.

En primer lugar, una parcela de $f(x) = \lim_{n\to\infty} na_n(x)$ (su caso es $x=17$ ), obtenida mediante $n=10000$ (en este momento parece estar bastante cerca del límite):

Traté de encajar algunas curvas obvias como $f(x) = \log(\alpha x+\beta)$ o $f(x) = \alpha x^{\frac{1}{3}}$ etc. Todo fracasó. Entonces, traté de ver el panorama general:

Y por alguna razón parece que $\lim_{x\to\infty} f(x) = 4$ . Esto no resuelve nada, pero plantea otra pregunta: ¿por qué, Dios, por qué?

Y en segundo lugar, no es difícil encontrar una fórmula cerrada para $L^{(n)}(x)$ . Por inducción podemos demostrar que $$ L^{(n)}(x) = \sum_{k=1}^{2^n} a_{n,k} x^k $$ para algunos $a_{n,k}$ .

El caso $n=1$ tiene $a_{1,1} = 1$ y $a_{1,2} = -\frac{1}{4}$ . Ahora supongamos que es cierto para $n\geq 1$ . Tenemos: $$ \begin{align} L^{(n+1)}(x) &= \sum_{k=1}^{2^{n}} a_{n,k} \left(x - \frac{1}{4}x^2\right)^k\\ &= \sum_{k=1}^{2^{n}} a_{n,k} \sum_{j=0}^k { k \choose j } \left( - \frac{1}{4} \right)^{j} x^{k+j}\\ &= \sum_{k=1}^{2^{n+1}} a_{n+1,k} x^k\\ \end{align} $$

con $$ a_{n+1, k} = \sum_{\substack{0\leq i\leq j\\ i+j=k}} a_{n,j} { j \choose i} \left( - \frac{1}{4} \right)^{i} = \sum_{\substack{0\leq i\leq \left[\frac{k}{2}\right]}} a_{n,k-i} { k-i \choose i} \left( - \frac{1}{4} \right)^{i}. $$

Utilizando Stirling sabemos que $${ j \choose i } \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi j}}\left(\frac{je}{i} \right)^i$$ y así, $$ a_{n+1, k} \sim \sum_{\substack{0\leq i\leq \left[\frac{k}{2}\right]}} a_{n,k-i} \frac{1}{\sqrt{2\pi (k-i)}}\left(- \frac{e(k-i)}{4i} \right)^i. $$

Esa aproximación sugiere que sólo los coeficientes extremos (con valores altos o bajos de $k$ ) tienen sentido. Pero no puedo ir más allá.