Según Euclides, un punto es algo que no tiene dimensiones. Y sabemos que todas las curvas de cualquier tipo se compone de puntos. Ahora esta cosa que me molesta porque si un punto no tiene dimensiones, es decir, en otras palabras no hay nada, entonces ¿cómo es posible dibujar una curva? La cosa que me podía imaginar que tal vez un punto no es como Euclides pensamiento. Me refiero a un punto puede ser pensado como un pequeño segmento de línea cuya longitud se aproxima a cero, pero nunca llega a ser exactamente cero. De esta manera, podemos decir que las curvas constan de puntos (el segmento de línea con la longitud se aproxima a cero). Pero entonces se rompe el hecho como dada por Euclides que un punto no tiene dimensiones. Por favor, ayúdame a salir de este dilema.
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Intuitiva interpretación:
Una curva tiene una infinidad de puntos. Tantos, que la cantidad contrarresta la ausencia de dimensiones, como una $0\times\infty$ undeterminacy.
Más precisamente, en una curva aún no tiene dimensión de forma transversal, pero un número finito (o infinito) de la dimensión longitudinal.
Usted puede pensar en él como el límite de un collar de perlas (puntos de área finita) en contacto, cada vez más pequeños y más pequeños, pero más y más numerosos. En el final, un ser infinitamente delgada pero continua cadena de restos.
Euclides hizo decir que "Un punto es aquello que no tiene parte". No es nada más que un susurro de una indicación de que "Usted está aquí". Realmente no se puede ver un punto, ya no hay nada.
"...if point has no dimensions, i.e. in other words there is nothing,
then how is it possible to draw any curve?"
Si usted está pensando en términos de "conectar los puntos", no es físicamente posible. Escoge un ridículamente pequeño número positivo, $\delta$. No importa cuán pequeño. Es un hecho que hay muchos puntos en el intervalo de $(0, \delta)$, ya que hay puntos en el universo. No hay manera que usted puede físicamente enumerar todos los puntos de la más pequeña de las curvas. No creo que Euclides había en nuestra comprensión del infinito, pero creo que era consciente de su paradójica de la abundancia.
Pero usted no tiene que dibujar curvas. Ellos son sólo un conjunto de puntos. Un gráfico es sólo una representación de ese conjunto y sólo sirve para combustible de nuestra intuición.
Euclid las definiciones de punto, línea y segmentos, tienen cero funcionalidad. Puede parecer agradable, pero que en realidad no dicen nada útil.
Si quieres saber lo que es un punto que realmente es, de proposiciones como la siguiente son mucho más útil.
"Dos puntos distintos determinan una única línea."
"Si dos rectas se intersecan, entonces se intersecan en un solo punto."
anexo
Tener a leer tu pregunta para el upteenth tiempo, se me ocurre que puede ser el pensamiento de infinitesimals. Infinitesimals son, básicamente, los números que son menores en magnitud que cualquier número real, pero no son iguales a cero. Puede que desee comprobar hacia fuera ESTE y ESTE.
Una curva está completamente determinada por dos hechos:
- El conocimiento de todos los puntos de la mentira en la curva
- El conocimiento de que la curva se dibuja en el plano Euclidiano
Cuando se dice que una curva se hace fuera de los puntos, uno realmente significa incluir en el último hecho demasiado, o algo similar (por ejemplo, una topología o una métrica en la colección de puntos).
Hay más sofisticadas técnicas geométricas (por ejemplo, la tangente de los espacios, de los halos, los gérmenes, los tallos) que la sonda de la "infinitesimal" la forma de la curva en el punto;
Por ejemplo, estudiando el espacio de la tangente a la curva sería, de hecho, le permiten decir que, en cada punto donde la curva es suave, consiste en un infinitesimal de la línea.
Pero sólo para reforzar mi punto inicial, la forma de que infinitesimales de la línea, se puede determinar simplemente por el conocimiento de la curva se dibuja en el plano a lo largo con el que 'cercanos' puntos se encuentran sobre la curva.
Un punto en un n-dimensional espacio Euclidiano es el punto que consta de n coordenadas que dan una clara ubicación de ese punto.
Una función en el espacio Euclidiano esencialmente proporciona una regla para definir un conjunto de coordenadas en el espacio para que esa función es cierto.
Estás en lo correcto en que la realización física de una colección de 0-dimensional puntos es una tontería para crear un físico 1-D de la curva, sin embargo, se hace de toneladas de sentido cuando se aprende un poco más de matemáticas en temas como conjunto y teoría de la medida
