Cómo decidir si un límite resultante $\infty$ es $+ \infty$ o $- \infty$ ??

Question

Así que acabo de empezar a aprender sobre los límites y tengo una duda.. Bueno, este es el límite que he hecho:

$$\lim_{x\to -1} \frac{-5}{(x+1)^2} = \frac{\lim\limits_{x\to -1}(-5)}{\lim_\limits{x\to -1}(x+1)^2} = \frac{-5}{0} = \infty$$

Espero que esté bien. Pero el resultado de este límite es $- \infty$ y el gráfico que tuve que utilizar para la propiedad del cociente para mi resultado, que es $n<0/0$ es sólo $\infty$ . No sé cómo conseguir $- \infty$ en este punto. ¿Podría alguien ser tan amable de explicármelo por favor? ¡Gracias de antemano! :)

Answer 1

Para decidir el signo del $\infty$ Considere, por ejemplo, que $$\lim _{x \to 0^+} \quad \frac{1}{x}$$ es decir $x$ tiende a cero a través de valores positivos. Todo es positivo y el valor de $\frac{1}{x}$ simplemente aumenta, es decir $\frac{1}{x} \to \infty$

Considere $$\lim _{x \to 0^-} \quad \frac{1}{x}$$ es decir $x$ tiende a cero mediante valores negativos. Ahora $\frac{1}{x}$ es negativo, pero se vuelve cada vez más negativo, es decir $\frac{1}{x} \to -\infty$

Su caso es esencialmente $-5/x^2$ y $x^2$ nunca es negativo.

Answer 2

Sólo hay que tener en cuenta que: $$f(x)=\frac{-5}{(x+1)^2}<0 \quad \forall x\neq-1$$

Answer 3

El denominador $(x+1)^2$ es siempre no negativo. Cuando $x$ tiende a $-1$ Como el denomiador es ligeramente mayor que cero, mientras que el numerador es negativo, el límite diverge al infinito negativo.