Encontrar una normal a un elipsoide

Question

Dejemos que $E$ sea un elipsoide centrado en $v = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ y que $T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 $ sea una transformación lineal que transforme $E$ a una esfera $S$ con un radio de longitud $1$ . Supongamos que $p \in \mathbb{R}^3$ está en la superficie de $E$ ¿Cómo puedo encontrar la normal a través de ese punto?

Answer 1

Utiliza la transposición inversa de T.

Por ejemplo http://explodedbrain.livejournal.com/112906.html

O https://www.scratchapixel.com/lessons/mathematics-physics-for-computer-graphics/geometry/transforming-normals .

Answer 2

Como T es un isomorfismo, el elipsoide está formado por todos los puntos $\textbf{p}$ tal que $(\textbf{p}-\textbf{v})^{T}T^{T}T(\textbf{p}-\textbf{v})=1$ . Sea $\textbf{x}(t)=\textbf{p}(t)-\textbf{v}$ donde $\textbf{p}(t)$ es una curva suave en el elipsoide que comienza en $\textbf{p}_{0}$ .

Entonces $\textbf{u}:=\textbf{x}'(0)$ es tangente al elipsoide en el punto $\textbf{p}(0)$ . Además: $$\frac{\textbf{d}}{\textbf{d}t}(\textbf{x(t)}^{T} T^{T}T\textbf{x}(t))=2 \textbf{x}'(t)^{T}T^{T}T\textbf{x}(t)=\frac{\textbf{d}}{\textbf{d}t}(1)=0$$ para todo t. Así que $\textbf{u}^{T} T^{T} T (\textbf{p}_{0}-\textbf{v})=0$ . El vector tangente $\textbf{u}$ puede elegirse arbitrariamente de modo que $\textbf{n}= T^{T} T (\textbf{p}_{0}-\textbf{v})$ es normal al elipsoide en el punto $\textbf{p}_{0}$ .