Demuestre que la función $f(x) = x^5 - 10x^3 + 50x - 21$ es una función creciente para todos los valores de x.

Question

He calculado que $dy/dx = 5x^4 - 30x^2 + 50$ y éste debe ser mayor que $0$ si es una función creciente.

He simplificado esto a $x^4 - 6x^2 + 10 > 0$ . Sé que debo demostrar que esta desigualdad es cierta, pero no sé cómo hacerlo.

Soy capaz de introducir varios valores de x y demostrar que son mayores que 0 pero no estoy seguro de cómo hacerlo algebraicamente.

Sé que para una cuadrática, puedo ponerla en forma de "completar el cuadrado" y entonces se puede demostrar que es mayor que 0 ya que al elevar algo al cuadrado = positivo y luego añadir un positivo seguirá siendo positivo. Pero no estoy seguro de cómo hacerlo cuando la potencia de x > 2.

Answer 1

Completa el cuadrado: $x^4-6x^2+10=(x^2-3)^2+1$

Answer 2

Tenga en cuenta que $x^4 - 6 x^2 + 10$ es una cuadrática en $t = x^2$ . Completa el cuadrado para $t^2 - 6 t + 10$ .

Answer 3

Podemos probarlo también por definición.

En efecto, dejemos que $a>b$ .

Así, por AM-GM obtenemos: $$f(a)-f(b)=a^5-10a^3+50a-21-(b^5-10b^3+50b-21)=$$ $$=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4+50-10(a^2+ab+b^2))\geq$$ $$=(a-b)\left(2\sqrt{50(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)}-10(a^2+ab+b^2)\right)=$$ $$=\frac{10(a-b)(2(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)-(a^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3+b^4))}{\sqrt{2(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)}+a^2+ab+b^2}=$$ $$=\frac{10(a-b)(a^4-a^2b^2+b^4)}{\sqrt{2(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)}+a^2+ab+b^2}>0$$ ¡y hemos terminado!

Answer 4

Reescribamos esa función como $$f(x)=(x^5+50x)-(10x^3+21)$$ Obviamente, $$(10x^3+21)<(x^5+50x)$$ Por lo tanto, la función es creciente :D