¿Una cobertura de intervalo abierto "flexiblemente fina" de un conjunto compacto no denso en ningún lugar admite una subcobertura finita disjunta?

Question

Dejemos que $K \subset \mathbb{R}$ sea un conjunto compacto no denso en ninguna parte. Supongamos que tenemos $K$ -familias indexadas $(U_x)_{x \in K}$ y $(V_x)_{x \in K}$ de conjuntos abiertos $U_x,V_x \subset \mathbb{R}\,$ con la propiedad de que para cada $x \in K$ , $\,\sup(U_x)=\inf(V_x)=x$ .

¿Existe necesariamente un conjunto finito $S \subset K$ y $(a_x)_{x \in S},(b_x)_{x \in S}$ con $a_x \in U_x$ y $b_x \in V_x$ para cada $x \in S$ , tal que la colección de intervalos abiertos $\{(a_x,b_x):x \in S\}$ es mutuamente disjunta y cubre $K$ ?

Si no, ¿qué pasa si añadimos la suposición de que $K$ es un conjunto Lebesgue-nulo?

(Quiero subrayar que $U_x$ y $V_x$ puede tener infinitas componentes conectadas, y por lo tanto, en particular, puede no contener un intervalo que tenga $x$ como punto límite).

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Intuición :

En ¿Admite una cobertura de intervalo abierto "fina" de un conjunto compacto no denso en ningún lugar una subcubierta finita disjunta? , pregunté:

Dado un conjunto compacto no denso en ninguna parte $K \subset \mathbb{R}$ y una portada de $K$ por intervalos abiertos, si esta cobertura incluye una vecindad arbitrariamente pequeña de cada punto de $K$ ¿admite necesariamente una subcubierta finita disjunta?

(En el título, me refería a la portada como " fino "porque incluye una vecindad arbitrariamente pequeña de cada punto en $K$ .)

En respuesta, me dieron el siguiente contraejemplo maravillosamente sencillo: Tome $K=\{\frac{1}{n}\}_{n \geq 1} \cup \{0\}$ , cubierta $0$ por intervalos abiertos con supremacía precisamente en $\frac{1}{n}$ y tomar todos los demás intervalos de la cubierta para intersecar $K$ sólo en un punto.

Este contraejemplo parece basarse en un "ajuste fino infinitamente preciso" de los puntos finales superiores de los intervalos sobre $0$ . Así que ahora modifico mi pregunta para que sea " permitir un margen de maniobra continuo " en los puntos finales de los intervalos de la cubierta. (Por ello, en el título me refiero ahora a la cubierta como "flexiblemente fina").

Answer 1

No. Lo demostraré:

1. Si $K$ es un conjunto compacto incontable, existe una cobertura de intervalo abierto flexiblemente fina de $K$ sin subcubierta disjunta.
2. Si $K$ es un conjunto compacto contable, entonces toda cobertura de intervalo abierto flexiblemente fina de $K$ tiene una subcubierta disjunta.

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Para 1, $K$ contiene un subconjunto perfecto no vacío $P.$ Para un contraejemplo concreto, tomemos $K$ para ser el conjunto de Cantor y $K=P.$ El complemento de $P$ es una unión disjunta contable de intervalos abiertos $I_n$ con puntos finales en $P.$ Afirmo que podemos colorear estos intervalos de rojo y verde de tal manera que:

• $P$ es el límite del conjunto rojo,
• $P$ es el límite del conjunto verde,
• $(-\infty,\inf P)$ es rojo, y
• $(\sup P,\infty)$ es verde.

Sólo hay que proceder por etapas, empezando por colorear $(-\infty,\inf P)$ rojo y $(\sup P,\infty)$ verde. Supongamos que hemos coloreado un número finito de intervalos de manera que, de menor a mayor, los intervalos coloreados alternan entre el rojo y el verde. Escoge el mayor intervalo sin colorear y píntalo de rojo. Entonces hay dos intervalos $I,I',$ con $\sup I\leq\inf I',$ ambos de color rojo y sin intervalo verde entre ellos. $P$ es perfecto así que $\sup I\neq\inf I',$ y $P$ no es denso en ninguna parte, por lo que hay un intervalo abierto en $[\sup I,\inf I']\setminus P.$ Elige cualquier intervalo de este tipo y colócalo en verde. Repitiendo este proceso para $\omega$ pasos asegura que cada intervalo sea coloreado.

Definir $U_x$ y $V_x$ de la siguiente manera. Si $x\in K$ está en el cierre de un intervalo rojo, toma $U_x$ para ser el conjunto de puntos menores que $x$ en intervalos de color rojo, y tomar $V_x$ para ser el conjunto de puntos mayores que $x$ en intervalos de color rojo. De lo contrario, tome $U_x$ para ser el conjunto de puntos menores que $x$ en intervalos verdes, y tomar $V_x$ para ser el conjunto de puntos mayores que $x$ en intervalos verdes. Esto da una cobertura flexible y fina. Cuando $x$ es el punto final derecho de un intervalo rojo, entonces $x$ es un punto límite de $P$ así que $x$ tiene intervalos rojos arbitrariamente cercanos en el lado derecho. Lo mismo ocurre con los puntos extremos de la izquierda, y con los intervalos verdes. Los puntos de $P$ no en el cierre de un intervalo abierto en $\mathbb R\setminus P$ tienen intervalos verdes (y rojos) arbitrariamente cercanos a ambos lados, y puntos de $K\setminus P$ se encuentran completamente dentro de un intervalo de color.

Esta construcción garantiza que cualquier $(a_x,b_x)$ debe ser monocromática - $a_x$ y $b_x$ se encuentran en intervalos del mismo color. Y si $b_x<a_y$ se encuentran en diferentes intervalos $I_n$ entonces hay un punto de $P$ entre ellos. Dado $x_1<\dots<x_k$ en $K,$ y disjuntos $(a_{x_i},b_{x_i})\in U_{x_i}\times V_{x_i},$ si $a_{x_1}<\inf P$ entonces $a_{x_1}$ se encuentra en un intervalo rojo, y si $b_{x_k}>\sup P$ entonces $b_{x_k}$ se encuentra en un intervalo verde, por lo que debe haber algún punto de $P$ no está cubierto por $\bigcup (a_{x_i},b_{x_i}).$

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Para 2, podemos utilizar la inducción sobre Rango de Cantor-Bendixon . Supongamos que para todos los ordinales $\alpha<\beta,$ para todos los compactos contables $K$ de rango $\alpha$ y todas las cubiertas flexibles de $K$ por intervalos abiertos, existe una subcubierta disjunta de $K.$ Ahora dejemos que $K$ tienen el rango de Cantor-Bendixson $\beta>0$ y que $\mathcal U=\{(a_x,b_x\mid x\in K, a_x\in U_x, b_x\in V_x\}$ ser una cubierta flexible y fina. Encogiendo cada $U_x$ y $V_x$ si es necesario, podemos suponer que cada $U_x$ y $V_x$ es un subconjunto de $\mathbb R\setminus K.$ Desde $K$ es contable y compacto, $\beta$ es un ordinal sucesor $\beta'+1$ y $K^{\beta'}$ es un conjunto discreto. Así que $K^{\beta'}$ tiene una cobertura disjunta por algún $\mathcal V\subset\mathcal U.$ . El conjunto $K\setminus \bigcup\mathcal V$ tiene un rango de Cantor-Bendixson estrictamente menor. Así que tiene su propia cobertura disjunta por $\mathcal V'\subset\mathcal U',$ donde $\mathcal U'$ es $\mathcal U$ restringido a $x\in K\setminus \bigcup\mathcal V$ y restringido a los intervalos que no se cruzan $\bigcup\mathcal V$ - esto se puede hacer reduciendo $U_x$ y $V_x.$ Esto da una cobertura disjunta de $K$ por $\mathcal V\cup\mathcal V'\subset\mathcal U.$