¿Continuidad del producto de la matriz con respecto a la norma de la matriz?

Question

Estoy tratando de enseñarme sobre ecuaciones diferenciales ordinarias con un viejo script y estoy luchando con este problema:

Demuestre que el producto de la matriz es continuo con respecto a la norma de la matriz. Es decir, si $A_j A$ y $B_j B$ tenemos $A_j\cdot B_j AB$ .

Mi problema es que ni siquiera entiendo cuál es el límite de $A_j\cdot B_j$ tiene que ver con la norma de la matriz.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Pues se necesita una noción de norma para poder hablar de convergencia, es decir

$$A_jB_j\longrightarrow AB\mathrm{\ \ iff\ \ }\forall\epsilon>0,\exists N>0\mathrm{\ s.t.\ }j>N\Rightarrow\Vert AB-A_jB_j\Vert<\epsilon$$

De todas formas aquí no hace falta volver a la definición para demostrar que el producto es continuo. Básicamente necesitas propiedades que son fáciles de demostrar :

• El producto sobre números reales/complejos es continuo
• La suma en números reales/complejos es continua
• Las proyecciones ( $f(x)=x_i$ , $\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R$ ) sobre cualquier coordenada de un vector son continuas
• La "suspensión" ( $f_i(x)=(0,...,x,...,0)$ , $\mathbb R\rightarrow \mathbb R^n$ ), es decir, la función que asocia un número real con un vector que sólo contiene ceros pero $x$ en la coordenada i-ésima también es continua
• Lo más importante: si $f,g$ son dos funciones continuas (componibles), entonces su composición también es continua.

Dicho esto, fíjate en que el producto matricial no es más que una composición de todas estas diferentes funciones que son todas continuas.

De ahí que sea continuo.

Answer 2

En general: la continuidad sólo puede definirse para funciones entre espacios topológicos.

Parece que te refieres a una definición de continuidad en términos de límites, y esto se suele hacer en un espacio métrico (que también es un espacio topológico) ( ver aquí ) .

Un espacio vectorial de matrices como, por ejemplo, $M(n, \mathbb{R})$ (que es un espacio vectorial) se convierte en un espacio métrico si definimos una norma que induzca una distancia de forma canónica: $$ d(A,B)=||A-B|| $$ Entonces, si tenemos una norma, tenemos un espacio métrico y podemos definir la convergencia y la continuidad.