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El tensor es distinto de cero

Dejemos que $A,B$ sea $k$ -algebras, donde $k$ es un campo. Sea $a_1,a_2,\dots a_n$ sean elementos de $A$ que son linealmente independientes sobre $k$ . Del mismo modo, dejemos que $b_1,b_2, \dots, b_n$ sean elementos de $B$ que son linealmente independientes sobre $k$ . Es $\sum a_i \otimes_k b_i$ distinto de cero en $A \otimes_k B$ ?


A primera vista, la afirmación parece ser cierta. Por lo que sé $\sum a_i \otimes_k b_i =0$ si y sólo si podemos traer $ \sum a_i \otimes_k b_i$ a la $0 \otimes_k 0$ tensor utilizando las relaciones que definen el tensor:

$$(a+a',b) = (a,b) + (a',b); \quad \quad (a,b+b') = (a,b)+(a,b'); \quad \quad (ka,b) = (a,kb);$$

Sin embargo, creo que la independencia lineal realmente nos prohíbe llevar la suma a un tensor simple a lo largo de cualquiera de las coordenadas, a menos que $n=1$ . Pero, estoy luchando para demostrar que esto es realmente el caso si $n\ge2$ . Mientras que si $n=1$ , $a \otimes_k b = 0$ implica que $a=0$ o $b = 0$ , como $A$ , $B$ son planas, dado que $k$ es un campo. Obviamente esto contradice la independencia lineal.

También traté de utilizar la planicidad de $A$ y $B$ Sin embargo, es inútil.

Por último, si se simplifica el problema, podemos suponer que $A$ es un dominio integral y $B$ es una extensión de campo finito de $k$ con $\{b_1, \dots, b_n\}$ una base de $B$ en $k$ . De hecho, este es el problema que quería resolver inicialmente, pero pensé que el resultado podría ser algo generalizado.

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avs Puntos 803

Volvamos a un caso especial en el que $A, B$ son espacios vectoriales, con bases respectivas $\{a_j\}, \{b_j\}$ .

Además, definamos el producto tensorial $A \otimes B$ (Omitiré el subíndice $k$ para abreviar) como el dual del espacio ${\tt Bil}(A, B)$ de todas las formas bilineales en la suma directa $A \oplus B$ . A saber, $a \otimes b$ es la función lineal que mapea cada forma bilineal $\psi( \cdot, \cdot)$ en $A \oplus B$ al escalar $\psi(a, b)$ . [Me parece que esta definición, geométrica, es mucho más fácil de trabajar].

¿Cómo es que $\sum_{i}a_{i} \otimes b_{i}$ actúan sobre una forma bilineal $\psi( \cdot, \cdot) \in {\tt Bil}(A, B)$ ? Al asignar esa forma a $$ \sum_{i} \psi( a_{i}, b_{i} ). $$ ¿Podemos construir un $\psi$ para que esta última suma no sea cero? Si es así, entonces el funcional lineal $\sum_{i}a_{i} \otimes b_{i}$ en ${\tt Bil}(A, B)$ no puede ser idéntico a cero.

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benjamin Puntos 86

¡Incluso conseguimos algo más! Si tiene $ k $ espacios vectoriales $ V, W $ con bases $ (v_i)_{i \in I} $ y $ (w_j)_{j \in J} $ , entonces $ (v_i \otimes w_j)_{i,j} $ es una base de $ V \otimes W $ . Ahora bien, esto implica la afirmación, porque en el contexto de su pregunta $ a_1, \dots a_n $ y $ b_1, \dots, b_n $ se encuentran en una base de $ A $ y $ B $ respectivamente. Por lo tanto, por la afirmación superior $ (a_i \otimes b_j)_{i,j} $ es una subfamilia de una base de $ A \otimes B $ y, por lo tanto, son linealmente independientes. Así, $ \sum_i a_i \otimes b_i \not = 0 $ .

A continuación, se ofrecen algunas pistas detalladas para la primera declaración. Pero si quieres, inténtalo tú mismo. Probablemente el escenario más accesible es intentar construir un isomorfismo $ \oplus_I k \times \oplus_J k \to \oplus_{I \times J}k $ a través de la propiedad universal del producto tensorial.

Nuestro objetivo es construir un isomorfismo $ V \otimes W \cong \oplus_{I \times J}k $ . Mediante la elección de las bases tenemos un isomorfismo $ V \times W \cong \oplus_I k \times \oplus_J k $ . Ahora podemos definir el mapa $$ \oplus_I k \times \oplus_J k \to \oplus_{I \times J} k, (\sum_i \lambda_i \delta_i, \sum_j \mu_j \delta_j) \mapsto \sum_{i,j} \lambda_i \mu_j \delta_{i,j}. $$ por lo que el $ \delta $ -s denotan los vectores de base estándar. No es muy difícil ver que este mapa es bilineal. Por la propiedad universal del producto tensorial se obtiene un único mapa lineal $ V \otimes W \to \oplus_{I \times J}k $ . Para demostrar que esto es realmente un isomorfismo necesitamos un mapa inverso. Recordemos que queremos la familia $ (a_i \otimes b_j)_{i,j} $ para ser una base de $ V \otimes W $ . Entonces, ¿qué podría ser más natural que probar el mapa dado por $$ \oplus_{I \times J}k \to V \otimes W, \delta_{i,j} \mapsto v_i \otimes w_j? $$ Convencerse de que esto define un inverso debería ser otro buen ejercicio.

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fon60 Puntos 6

Dejemos que $k$ sea un campo, y $V$ y $W$ dos $k$ -espacios vectoriales, con bases $e_i$ y $f_j$ respectivamente. Entonces $V\otimes_kW$ es un $k$ -espacio vectorial con base $e_i\otimes f_j$ . Por lo tanto, la respuesta a su pregunta es sí.

Una forma de ver este resultado sobre las bases es utilizar la propiedad universal. A $k$ -mapa bilineal $V\times W\to X$ está completamente determinada por sus valores en $(e_i,f_j)$ y podemos elegir estos valores libremente.

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