Dejemos que $A,B$ sea $k$ -algebras, donde $k$ es un campo. Sea $a_1,a_2,\dots a_n$ sean elementos de $A$ que son linealmente independientes sobre $k$ . Del mismo modo, dejemos que $b_1,b_2, \dots, b_n$ sean elementos de $B$ que son linealmente independientes sobre $k$ . Es $\sum a_i \otimes_k b_i$ distinto de cero en $A \otimes_k B$ ?
A primera vista, la afirmación parece ser cierta. Por lo que sé $\sum a_i \otimes_k b_i =0$ si y sólo si podemos traer $ \sum a_i \otimes_k b_i$ a la $0 \otimes_k 0$ tensor utilizando las relaciones que definen el tensor:
$$(a+a',b) = (a,b) + (a',b); \quad \quad (a,b+b') = (a,b)+(a,b'); \quad \quad (ka,b) = (a,kb);$$
Sin embargo, creo que la independencia lineal realmente nos prohíbe llevar la suma a un tensor simple a lo largo de cualquiera de las coordenadas, a menos que $n=1$ . Pero, estoy luchando para demostrar que esto es realmente el caso si $n\ge2$ . Mientras que si $n=1$ , $a \otimes_k b = 0$ implica que $a=0$ o $b = 0$ , como $A$ , $B$ son planas, dado que $k$ es un campo. Obviamente esto contradice la independencia lineal.
También traté de utilizar la planicidad de $A$ y $B$ Sin embargo, es inútil.
Por último, si se simplifica el problema, podemos suponer que $A$ es un dominio integral y $B$ es una extensión de campo finito de $k$ con $\{b_1, \dots, b_n\}$ una base de $B$ en $k$ . De hecho, este es el problema que quería resolver inicialmente, pero pensé que el resultado podría ser algo generalizado.