Problema de derivación de la relación de incertidumbre entrópica

Question

En este documento los autores afirman que la desigualdad cerca de la parte inferior de la página 2 se reduce a la desigualdad (1) cuando $N=1$ . Sin embargo, estoy luchando para obtener ese resultado, ya que tengo un signo menos extra delante de las integrales. ¿Puede alguien probar esto por sí mismo y ver si obtiene el resultado correcto?

$$\frac{n}{4}N(1+\ln{\pi})-\frac{1}{2}N^{-1} \int d^n \mathbf{r}|\Psi(\mathbf{r})|^2 \ln{|\Psi(\mathbf{r})}|-\frac{1}{2}N^{-1} \int d^n \mathbf{k}|\tilde{\Psi}(\mathbf{k})|^2 \ln{|\tilde{\Psi}(\mathbf{k})}|+N \ln{N \geq 0}$$

debería reducirse a

$$-\langle \ln{\rho}\rangle - \langle \ln{\tilde{\rho}}\rangle \geq n(1 + \ln{\pi}) $$

donde

$\rho (\mathbf{r})= |\Psi(\mathbf{r})|^2$ , $\tilde{\rho}(\mathbf{k})= |\tilde{\Psi}(\mathbf{k})|^2$ y $\langle \rangle$ denota el valor medio, por lo que $\langle \ln{\rho} \rangle = \int d^n \mathbf{r} \,\rho (\mathbf{r})\ln{\rho(\mathbf{r})}$

Answer 1

La diligencia debida primero. Al primer término de la primera ecuación que has escrito le falta un signo, como deberías haber comprobado fácilmente tú mismo, por el coeficiente de $\ln \pi$ .

Es decir, anotar el padre $W(q)$ justo por encima de la ecuación con la que empiezas, alrededor de tu mínimo q \=2, es decir $q\equiv 2(1+\epsilon)$ para que $p= 2(1-\epsilon) +O(\epsilon^2)$ desechando cualquier orden superior de $\epsilon$ .

El término relevante para la derivada con respecto a $2\epsilon$ entonces es $\pi^{-n2\epsilon/4} N$ para que pueda captar la errata del periódico.