Espacio topológico separado

Question

Dejemos que $\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ $n$ diferentes puntos $(n\in \mathbb{N}^*)$ de un espacio topológico separado $(E,\tau).$

Cómo demostrar por inducción que existe $n$ barrios $\{U_1,U_2,\cdots,U_n\}$ tal que $$\forall i\neq j, U_i\cap U_j=\emptyset: \forall i\in \{1,\cdots,n\}, U_i\in \mathcal{V}_{x_i}$$

Por favor, ayúdenme

Gracias

Answer 1

Caso $n=2$ . $U_1, U_2$ existen por definición de espacio separado.

Caso $n+1$ . Considere $U_1', \dots, U_n'$ vecindades disjuntas por pares de $x_1, \dots, x_n$ ramente. Para todos los $i \in \{ 1, \dots ,n\}$ existe $V_i \in \mathcal{V}(x_i)$ y $W_i \in \mathcal{V}(x_{n+1})$ disjuntos, ya que $E$ es un espacio separado.

Llame a $U_{n+1} = W_1 \cap \dots \cap W_n$ y $U_i = U_i' \cap V_i$ para $i \in \{ 1, \dots ,n\}$ .

Entonces $U_1, \dots, U_n, U_{n+1}$ son vecindades disjuntas de $x_1, \dots, x_n, x_{n+1}$ ramente.

Answer 2

Por "separado" probablemente quieres decir "Hausdorff". Así que quieres demostrar que en un espacio de Hausdorff $n$ puntos distintos tienen vecindades abiertas disjuntas.

Te mostraré el caso $n=3$ La inducción general es similar.

Toma tres puntos $x,y,z$ . Desde $X$ es Hausdorff, podemos separar $x$ formulario $y$ , $x$ de $z$ y $y$ de $z$ . Elija los correspondientes barrios abiertos. Obtenemos dos vecindades abiertas de cada punto, así que las intersectamos para cada punto. Después de esto, obtenemos vecindades abiertas disjuntas.