¿Cuál es la probabilidad de que tres bebés sean niños, dado que al menos uno es varón?

Question

Sé que es un problema sencillo, pero estoy discutiendo con un amigo sobre su solución, ¡así que quiero mostrarle una prueba "oficial"! Supongamos que en cualquier nacimiento, la probabilidad de tener un niño es $48.5\%$ .

1. Si tenemos tres personas que esperan dar a luz, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas dé a luz a un niño?
2. Si sabemos que al menos una dará a luz a un niño (supongamos que tenemos resultados precisos de la ecografía), ¿cuál es la probabilidad de que las tres tengan un niño?

Para la primera pregunta, calculamos la probabilidad de que uno NO tenga un niño, que es $1-0.485 = 0.515$ y entonces la probabilidad requerida de que los tres no tengan un niño es $0.515^3 = 0.1365$ por lo que la probabilidad de que al menos uno tenga un niño es $1-0.1365 = 0.8634 = 86.34\%$ .

Para la segunda pregunta, como los tres sucesos son independientes, la probabilidad de que los tres tengan un niño dado que al menos uno tendrá un niño es igual a la probabilidad de que los otros dos tengan un niño. ¿Es así? $0.485^2$ ? No estoy seguro de la segunda.

Answer 1

En el segundo problema, ten en cuenta que tu conjunto excluye el caso de que ninguno de los fetos sea un niño, ya que sabes que al menos uno de ellos lo es.

Así que la probabilidad en el segundo caso de que los tres fetos sean niños $\displaystyle = \frac{0.485^3}{1-0.515^3}$

Answer 2

Dejemos que $X\in\{0,1,2,3\}$ sea el número de niños. Sea $A$ sea el evento que $X=3$ y $B$ sea el evento que $X\ge1$ . Por definición, tenemos ${\rm P}(A\cap B)={\rm P}(A\mid B){\rm P}(B)$ así que $${\rm P}(X=3\mid X\ge1)=\frac{{\rm P}(X=3\cap X\ge1)}{{\rm P}(X\ge1)}=\frac{{\rm P}(X=3)}{{\rm P}(X\ge1)}.$$ Ha calculado ${\rm P}(X\ge1)$ en la primera parte y evaluando ${\rm P}(X=3)$ es sencillo.

Answer 3

Como otros han sugerido, se puede aplicar "simplemente" el teorema de Bayes. Sin embargo, este problema es relativamente sencillo, por lo que puede ser útil dibujar un árbol de probabilidad para ayudar a organizar tus pensamientos. No voy a afirmar que ésta sea la "mejor" o la más eficiente forma de abordar el problema, pero creo que puede ayudar a dar una idea de por qué, ya que te estás basando en algo un poco más concreto que el enunciado de un teorema. Para este problema, el árbol es algo así como lo siguiente:

He utilizado nodos azules para indicar a los niños y nodos morados para indicar a las niñas.

1. Si tenemos tres personas que esperan dar a luz, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas dé a luz a un niño?

   Hay dos maneras de enfocar esto desde el diagrama. O bien encontrar todas las hojas (nodos terminales) en las que hay al menos un chico, calcular la probabilidad de cada uno de esos resultados multiplicando a lo largo del camino que lleva a esta hoja (esto es el teorema de Bayes disfrazado), y luego sumar esas probabilidades (lo que podemos hacer, porque los eventos son independientes).

   Alternativamente, podemos buscar todos los resultados en los que no niños nacen, determinar la probabilidad de cada uno, y luego restar esa probabilidad de $1$ (ya que todas las probabilidades deben sumar $1$ ). Esta última opción parece más sencilla, ya que sólo hay que tener en cuenta un nodo. Por lo tanto, $$\begin{align} P(\text{at least one boy}) &= 1 - P(\text{no boys}) \\ &= 1 - 0.515^3 \\ &\approx 1 - 0.1366 \\ &= 0.8634, \end{align}$$ que es la respuesta que se encuentra en la pregunta.

2. Si sabemos que al menos una dará a luz a un niño (supongamos que tenemos resultados precisos de la ecografía), ¿cuál es la probabilidad de que las tres tengan un niño?

   En general, la probabilidad de un resultado $A$ dado algún evento $B$ es $$P(A \mid B) = \frac{P(A)}{P(B)}.$$ Esto es, básicamente, la Ley de la Probabilidad Total. Tome $A$ ser el evento "nacen tres niños" y $B$ que sea el suceso "que nazca al menos un niño". La probabilidad de que nazca al menos un niño se ha calculado en la primera parte de la pregunta: $P(B) \approx 0.8634$ . Siguiendo el mismo tipo de argumento que en la primera parte (es decir, multiplicar las probabilidades a lo largo del camino desde el nodo raíz hasta la hoja etiquetada como "3 chicos"), $$P(A) = P(\text{three boys}) = (0.485)^3 \approx 0.1141.$$

   Entonces $$\begin{align} P(\text{three boys} \mid \text{at least one boy}) &= \frac{P(\text{three boys})}{P(\text{at least one boy})} \\ &\approx \frac{0.1141}{0.8634} \\ &\approx 0.1322. \end{align}$$ En otras palabras, si se sabe que uno de los bebés es un niño, la probabilidad de que los tres sean varones es de aproximadamente el 13,2%.

Answer 4

Ahora, no estoy seguro de un sol "oficial" pero aquí está el mío.

ahora en estos casos, usaría conjuntos y un diagrama de Venn. llamemos a las personas 1,2,3 ahora dejemos que A = {eventos|1 tiene un chico} y de forma similar para B y C así el diagrama de Venn quedaría como- Diagrama de Venn

así que ahora el si al menos uno de ellos tiene un niño entonces estamos en A $\cup$ B $\cup$ C, por lo que la probabilidad requerida es n(A $\cap$ B $\cap$ C)/n(A $\cup$ B $\cup$ C) = $0.485^3/(1-0.515^3)$