Para calcular el lado del triángulo equilátero

Question

La figura es un triángulo equilátero. 3 segmentos de línea, que se encuentran en un punto (cualquiera) del triángulo, tienen una longitud de 5 cm, 4 cm y 3 cm, como se muestra en la figura. Halla el lado del triángulo equilátero.

Answer 1

Teorema : Dejemos que $ABC$ sea un triángulo equilátero, con un punto $P$ en su interior de forma que $PC^2=PA^2+PB^2$ entonces $\angle APB=150^{\circ}$ .

Así que para hacerlo, construimos inteligentemente un punto $D$ tal que $APD=60^{\circ}$ y $AP=PD$ . Por lo tanto, $APD$ es equilátero y $AP=AD$ .

Ahora, como $60^{\circ}=\angle CAB=\angle DAP$ Así que.., $\angle CAP = \angle BAD$ , que es sólo $\angle PAB$ se les ha restado. Sabemos que $AB=AC$ .

Así que, por SAS criterios $PAC \cong BAD$ . Por lo tanto, $PC=BD$ . Esto significa que $BD^2=PD^2+BP^2$ . Por lo tanto, por la inversa del Teorema de Pitágoras, $\angle BPD = 90^{\circ}$ , lo que significa que $\angle APB=150^{\circ}$ .

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Corolario : Si $ABC$ sea un triángulo equilátero, con un punto $P$ en su interior de forma que $PC=5$ , $PB=4$ y $PA=3$ entonces $AB=\sqrt{25+12\sqrt3}$ .

Tenga en cuenta que $3^2+4^2=5^2$ Así que $\angle APB=150^{\circ}$ . Por lo tanto, por la ley del coseno, $AB^2=3^2+4^2-2\cdot12\cdot \cos 150^{\circ}=25+12\sqrt3$ . Así que: $$AB=\sqrt{25+12\sqrt3}$$