Sabemos que 5 puntos en posición general determinan una sección cónica de forma única. Me pregunto si existe una generalización. Consideremos la ecuación $F(x_1,\dots, x_n) =0$ donde $F$ es un polinomio de grado $d$ (sobre $R$ ). ¿Existe un límite (agudo) del número de puntos $(x_1,...,x_n)$ (en posición general) que determina de forma única $F$ ?
Respuesta
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La respuesta ha sido dada esencialmente por J. C. Ottem en un comentario. Sólo la pongo aquí (con un par de detalles) para que la pregunta quede "contestada".
El espacio de grado $d$ polinomios en n+1 variables tiene dimensión $\binom{n+d}{d}$ (recuento de coeficientes), por lo que las hipersuperficies de grado d en $\mathbb{P}^n$ están parametrizados por un espacio proyectivo de dimensión $N:=\binom{n+d}{d}-1$ . Pedir que la hipersuperficie pase por un punto dado es una ecuación lineal sobre los coeficientes de los polinomios.
Si el campo base (o dominio) es infinito, entonces las condiciones impuestas por los puntos generales son independientes. Esto se demuestra por inducción en el número de puntos: supongamos que las hipersuperficies de grado d en $\mathbb{P}^n$ a través de $k-1 < N-1$ los puntos generales están parametrizados por $\mathbb{P}^{N-k+1}$ . EDITAR : Elige una de estas hipersuperficies $X$ ; lo hace no contienen todos los puntos de $\mathbb{P}^n$ ya que el campo base es infinito. Por lo tanto, si el $k$ -el punto está fuera de $X$ (que podemos suponer ya que los puntos son generales) el espacio paramétrico de las hipersuperficies que contienen todas $k$ puntos es estrictamente conained en $\mathbb{P}^{N-k+1}$ lo que significa que la última condición es linealmente independiente y define un hiperplano $\mathbb{P}^{N-k}$ .
Así que $N$ es el número de puntos generales que determinan de forma única una hipersuperficie de grado $d$ .
