Demuestra una relación para los polinomios de Chebyshev

Question

Los polinomios de Chebyshev del primer tipo son: $$T_n(x)=\cos(n\theta)$$ donde $x=\cos(\theta)$ .

Demostrar la relación: $$T_n(x)=\frac{1}{2}[(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n].$$

Lo he intentado pero no sé cómo conseguirlo ( $\sqrt{x^2-1}$ ) dentro de la relación.

Si alguien tiene alguna idea o prueba, que lo diga, por favor.

Answer 1

Tenemos $T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_{n}(x)$ . Al igual que las recurrencias numéricas lineales, la solución proviene de la solución de la ecuación característica $u^2= 2xu-1$ que es $u=x\pm\sqrt{x^2-1}$ .

Entonces $u^{n+2}=2xu^{n+1}-u^n$ por lo que cualquier combinación lineal de $(x\pm\sqrt{x^2-1})^n$ también satisfará $u^2= 2xu-1$ . Sólo queda comprobar que se cumplen las condiciones iniciales, es decir, $$ T_n(x)=\frac{1}{2}[(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n]. $$ para $n=0$ y $n=1$ .

Answer 2

Observe que $$\begin{align} \cos(n\theta) &= \mathfrak{Re} (e^{n\theta\ i})\\ &= \frac12(e^{n(\theta i)}+ e^{n (-\theta i)}) \end{align}$$

y observe que $\sqrt{x^2 - 1} = i\sqrt{1-x^2} = i|\!\sin \theta|$ ; no tiene que preocuparse por el signo de $\sin \theta$ ya que ambas posibilidades aparecen en la fórmula final, así que ya está.

---

Explicando una respuesta anterior, se podría tomar la (lineal) $\mathbb R^2$ operador de rotación $R_\theta(v) = \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} v$ . El polinomio característico de esta matriz es $p(\lambda) = (\cos\theta - \lambda)^2 + \sin^2\theta$ por lo que sus valores propios de $R_\theta$ son $\cos \theta \pm i|\!\sin\theta| = \cos\theta \pm i\sin\theta.$ Obsérvese que son diferentes si $\sin \theta \neq 0$ ; es decir, $\theta \not \equiv 0,\pi\,\, \mathrm{mod}\,2\pi$ . Si son diferentes, sabemos con seguridad que $R_\theta$ es diagonalizable. Así que la ecuación del vector propio se convierte en

$$\begin{bmatrix} \mp i \sin \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \mp i\sin \theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \mathrm O,$$

con el eigespacio asociado $E_\lambda = \mathrm{Span}((\mp i, 1))$ , para $\lambda = \cos \theta \pm i \sin \theta$ . Por lo tanto, la definición de $P = \begin{bmatrix} -i & i \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ tenemos $$R_\theta= P^{-1}\begin{bmatrix}\cos\theta + i\sin \theta & 0 \\ 0 & \cos \theta - i \sin \theta\end{bmatrix}P.$$

Así que podemos tomar potencias de esta matriz fácilmente (y geométricamente, el $n$ -la potencia es $R_{n\theta}$ ). Utilizando la fórmula de DeMoivre, el hecho de que $\operatorname{tr}$ es invariante bajo el cambio de base, deducimos el mismo hecho: $2\cos(n\theta) = (\cos \theta + i \sin \theta)^n + (\cos \theta - i \sin \theta).$

Y utilizando las mismas sustituciones, obtendrás el mismo resultado.

Answer 3

Pista: La fórmula cuadrática. Se tiene $x\pm\sqrt{x^2-1}$ .

Además, también parece que el rastro del $n^{th}$ potencia de una matriz de 2 por 2 con $x+\sqrt{x^2-1}$ y $x-\sqrt{x^2-1}$ en la diagonal.