¿integración o convergencia uniforme?

Question

Supongamos que $f_{n}:[0,1]\to [0,\infty)$ son funciones no negativas tales que $\lim_{n\to \infty}f_{n}(x)=0$ a.e $x\in [0,1]$ y $$\sup_{n}\int\limits_0^1\varphi(f_{n}(x))dx\leq1$$ para alguna función continua $\varphi:[0,\infty)\to [0,\infty)$ tal que $\lim_{t\to \infty}\frac{\varphi(t)}{t}=\infty$ . demostrar que $\lim_{n\to \infty}\int\limits_0^1f_{n}(t)dt=0$

Answer 1

Fijar $\varepsilon>0$ . Podemos encontrar $A$ tal que $\frac{\varphi(t)}t>\frac 1{\varepsilon}$ siempre que $t>A$ . Esto da que para cada $n$ , $$\int_{\{f_n>A\}}\varphi(f_n(x))dx\leqslant 1,$$ por lo que $$\int_{\{f_n>A\}}f_n(x)dx\leqslant \varepsilon.$$ Utilice el teorema de convergencia dominante para amenazar la otra parte ( $|f_n|\leqslant A$ ).