El problema de la "abeja que vuela entre dos trenes

Question

Hay una famosa pregunta aritmética :

Dos trenes $150$ millas de distancia están viajando el uno hacia el otro a lo largo de la misma pista. El primer tren va $60$ millas por hora; el segundo tren se precipita a 90 millas por hora. Una mosca revolotea justo por encima del morro del primer tren. Pasa zumbando del primer tren al segundo, se da la vuelta inmediatamente, vuelve a volar hacia el primer tren y se da la vuelta de nuevo. Sigue volando de un lado a otro de los dos trenes hasta que chocan. Si la velocidad de la mosca es $120$ millas por hora, ¿qué distancia recorrerá?

Es fácil determinar la distancia recorrida por la abeja.

Pero, ¿cómo determinar cuántas veces toca el primer/segundo tren?

o

¿Qué tren toca el último?

Answer 1

He aquí una intuición gráfica para entender por qué la abeja toca los trenes con infinita frecuencia.

La trayectoria de la abeja en el espacio-tiempo es una trayectoria en zig-zag que es autosimilar Si se amplían los pares sucesivos de giros, se obtiene una copia del original:

Así que la abeja toca ambos trenes infinitamente a menudo, en una cantidad de tiempo finita. La duración del tiempo entre los toques sucesivos se hace cada vez más corta.

Para hacerlo evidente sin necesidad de hacer zoom, toma una abeja más rápida (o trenes más lentos). Esto es lo que ocurre con una abeja 10 veces más rápida:

EDITAR. Teniendo en cuenta la discusión sobre las abejas de longitud no nula, esto es lo que le sucede a una abeja de 20 millas de largo que va a 1200 mph:

Answer 2

Podemos demostrar que la abeja toca ambos trenes infinitas veces.

Supongamos que en algún momento la abeja se encuentra en la nariz de un tren, y vuela hacia el otro tren. Entonces llegará al otro tren antes de que los dos trenes se encuentren, ya que su velocidad es mayor que la de cualquier tren.

El proceso se repite, y así la abeja tocará ambos trenes infinitas veces.

Answer 3

Los trenes se acercan entre sí a $150$ millas por hora. Como son $150$ millas de distancia, se encuentran en 1 hora. Así que la abeja vuela durante 1 hora.

La velocidad de la abeja es $120$ millas por hora, por lo que viaja un total de $120$ millas, porque tiene 1 hora de vuelo antes de ser aplastado.

Además, si se supone que la abeja es un punto, toca los dos trenes un número infinito de veces. La distancia recorrida también puede calcularse mediante la suma de las series infinitas. Esto es, por supuesto, suponiendo que la abeja tarda 0 tiempo en dar la vuelta.

Del mismo modo, es imposible determinar en qué tren se ha sentado por última vez, a menos que haya una cantidad de tiempo específica para dar la vuelta.

Answer 4

Bien. En 5/6 de hora la abeja ha volado 100 millas y el segundo tren ha recorrido 50 millas. La abeja se ha encontrado con el tren. La abeja ha hecho la primera mitad del primer recorrido.

El primer tren ha recorrido 75 millas. La abeja da la vuelta para volar hacia el tren a 25 millas de distancia. En 25/210 = 5/42 de hora la abeja alcanza el primer tren.

La abeja ha tardado 5/6 + 5/42 = 20/21 horas en hacer el primer recorrido. Los trenes están ahora a 150x1/21 millas de distancia.

La abeja debe repetir la juerga pero sólo recorrer 1/21 de la distancia por lo que tarda 1/21 del tiempo. Si sumamos el tiempo de cada una de estas juergas la abeja vuela del primer al segundo tren y de vuelta y el tiempo que tarda el total es

$20/21+20/21*1/21+20/21*(1/2)^2+20/21*(1/21)^3+.... $

Una suma infinita.

Se suma a

$20/21 (1+1/21+(1/21)^2+(1/21)^3+...)=$

$20/21 [\frac {1}{1-1/21}]=20/21 [\frac {1}{20/21}]=20/21*21/20=1$ hora.

Entonces la abeja voló durante 1 hora. Hizo un número infinito de jags, cada uno de los cuales tomó un período exponencialmente más corto de tiempo que suman 1 hora y 120 millas.

Así es como se hace con las matemáticas y las sumas infinitas y los límites sin haciendo el truco de calcular el tiempo de trenes tomar.

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Bien. Probablemente te estés preguntando cómo hice la suma infinita y obtuve 21/20.

Bueno. SI la suma $1 + a+a^2+a^3+... $ hace se suman a algo finito entonces:

$(1-a)(1+a+a^2+....)=$

$(1+a+a^2+...)-(a+a^2+a^3+...)=1$

Así que $(1+a+a^2+...)=\frac {1}{1-a} $

Así que $1+1/21+(1/21)^2+(1/21)^3+...=\frac {1}{1-1/21}=21/20$ .

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Vale, tengo que advertir que la primera vez cometí un error de cálculo y pensé que el primer tren recorría 90 y no 75 millas en el primer medio jaguar. Curiosamente esto no afectó al resultado, ya que el resultado sigue siendo que cada jag es proporcionalmente más pequeño por el factor que tardó en hacer el primer jag. Por muy mal que haga las cuentas, los jags son proporcionalmente más pequeños por el inverso del primer tiempo, por lo que la suma siempre será de una hora.

Igualmente, cambié el tren en el que empezó la abeja. Eso tampoco hace ninguna diferencia.

Answer 5

Eso sería infinito.
No se puede determinar ni el número de veces que toca los trenes, ni qué tren toca en último lugar. Lee sobre la paradoja de Zenón, concretamente sobre la tortuga y Aquiles.
Aquí es el enlace: