Resolver la ecuación diofantina $x^2 + 1 = 2y^4$ en $\mathbb{Z}$ .

Question

Resolver la ecuación diofantina $x^2 + 1 = 2y^4$ en $\mathbb{Z}$ .

He encontrado algunas soluciones elementales como $(1,1)$ .

Lo he probado con sustituciones de variables. Después de resolverlo un poco queda claro que tanto $x$ y $y$ son impar. Evaluándolo para $x = 2x_1+1$ y $y=2y_1+1$ He llegado:

$$2x_1^2 + 2x_1 + 1 = (2y_1 + 1)^4$$

o

$$x_1^2 + (x_1 + 1)^2 = (2y_1 + 1)^4$$

No sé cómo resolver esto más adelante. Tienes alguna idea, pista o técnica para resolverlo?

Gracias.

Answer 1

Las únicas soluciones a esta ecuación son con $(x,y)=(1,1)$ y $(239,13)$ . Esto fue demostrado por primera vez por Ljunggren a través de una versión elaborada de la teoría de Skolem $p$ -método de los ádicos. Otras pruebas se basan en técnicas bastante sofisticadas (formas lineales en logaritmos, el método hipergeométrico, las curvas de Frey, etc.). Mordell pidió hace muchos años (como se informa en el UPINT de Guy) una prueba elemental. A día de hoy, no se conoce ninguna.

Answer 2

Si $x$ y $y$ son números enteros tales que $x^2 + 1 = 2y^4$ entonces en $\Bbb{Z}[i]$ tenemos $$2y^4=(x+i)(x-i).$$ Por supuesto $x$ es impar y por tanto el máximo común divisor de los dos factores de la derecha es $1+i$ . Porque $\Bbb{Z}[i]$ es un dominio de factorización único se deduce que $$x+i=i^k(1+i)(u+vi)^4,$$ para algunos enteros $k$ , $u$ y $v$ . Al expandir el lado derecho se observa que $$x+i=i^k((u^4-4u^3v-6u^2v^2+4uv^3+v^4)+(u^4+4u^3v-6u^2v^2-4uv^3+v^4)i),$$ y así comparar las partes imaginarias y cambiar el signo de $u$ si es necesario, vemos que $$u^4+4u^3v-6u^2v^2-4uv^3+v^4=\pm1.$$ Este es un Esta ecuación que sólo tiene un número finito de soluciones integrales y existen métodos eficaces para encontrarlas todas. Con la ayuda de un ordenador he encontrado que sí, hasta el signo, $$(0, 1),\quad(1, 0),\quad (2, -3),\quad (3, 2).$$ Estos corresponden a $x=\pm1$ y $x=\pm239$ con $y=\pm1$ y $y=\pm13$ respectivamente.