Demostrar que existe el límite de la mano derecha para una función monótona

Question

Sólo tengo un pequeño problema que no puedo explicar en mi argumento. En primer lugar, necesitamos un candidato para nuestro límite. Supongamos que $A = \{f(x) : f(x) > c\}$ . Podemos ver que A está acotado por debajo de f(c). Como A es un conjunto no vacío y acotado por debajo $inf A = k$ . Considere $k + \epsilon$ . Como $k + \epsilon$ ya no es un límite inferior mayor. Por lo tanto, existe $x_0 > c: k \leq f(x_0) < k + \epsilon$ . Establecer $\delta = x_0 - c$ . Entonces $f(x) < k + \epsilon$ , siempre que $ 0 < x < \delta + c$ . Pero, ¿por qué $f(x) \geq k$ ?

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, dejemos que $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sea creciente, dejemos que $x_0\in\mathbb R$ , dejemos que $c=\inf\{f(x):x>x_0\}$ y que $\varepsilon>0$ . Luego está $x_1>x_0$ tal que $f(x_1)<c+\varepsilon$ . Configuración $\delta=x_1-x_0$ produce que $f(x)<c+\varepsilon$ siempre que $x_0<x<x_0+\delta$ .