Mientras hacía un ejercicio de análisis complejo, me encontré con una extraña desigualdad que no sé cómo interpretar. Supongamos que tenemos una secuencia $\{a_j\}$ de número real positivo. Sea $\rho$ un número real positivo. La desigualdad que encontré después de algunos cálculos es $$\sum_{j=1}^{+\infty}\frac{1}{|a_j|^{\rho +\epsilon}}\leq \sum_{j=1}^{+\infty}\frac{1}{|a_j|^{\rho-\epsilon}}$$ por cada $\epsilon>0$ . Mi pregunta es: ¿puedo deducir algo de esta desigualdad? por ejemplo la convergencia de la primera serie (que con $+\epsilon$ )? ¿No puedo deducir nada? ¿Es esa desigualdad seguramente falsa? ¿Es siempre verdadera, de modo que no puedo deducir nada en particular? EDIT: la secuencia $a_j$ tiende a $\infty$
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Did
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Si $|a_j|\geqslant1$ por cada $j$ entonces $|a_j|^{\rho+\epsilon}\geqslant|a_j|^{\rho-\epsilon}$ por lo tanto, de hecho, $$ \sum_{j=1}^{+\infty}\frac1{|a_j|^{\rho+\epsilon}}\leqslant\sum_{j=1}^{+\infty}\frac1{|a_j|^{\rho-\epsilon}}. $$ En caso contrario, no hay comparación (considere el límite $|a_1|\to0$ Cada dos años $a_j$ arreglado).
Pero, por supuesto, si la serie $\displaystyle\sum_j\frac1{|a_j|^{\rho-\epsilon}}$ converge, entonces $|a_j|\geqslant1$ por cada $j$ lo suficientemente grande, de ahí que la serie $\displaystyle\sum_j\frac1{|a_j|^{\rho+\epsilon}}$ también converge.
Básicamente, lo que está diciendo es que si $a_j>0$ y $\alpha<\beta$ entonces $$ \sum_{j=1}^\infty\frac{1}{a_j^\beta}\le\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{a_j^\alpha}. $$ Esto es ciertamente cierto si $a_j\ge1$ . Ya que en su caso $a_j\to\infty$ Esto es válido para todos los $j$ lo suficientemente grande. Pero la desigualdad no es cierta en general. Dejemos que $N\in\mathbb{N}$ y definir $$ a_j=\begin{cases} 1/2 & \text{if }j\le N,\\ 2^{N-j} & \text{if }j< N. \end{cases} $$ Entonces $$ \sum_{j=1}^\infty\frac{1}{a_j^\beta}-\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{a_j^\alpha}= N(2^\beta-2^\alpha)+\frac{1}{1-2^{-\beta}}-\frac{1}{1-2^{-\alpha}}, $$ que es positivo si $N$ es lo suficientemente grande.
En general no se puede deducir nada de la desigualdad, ya que el lado derecho puede ser $\infty$ y el lado izquierdo $<\infty$ .
