Supongamos que $V$ es un espacio vectorial sobre el campo $F$ , $\operatorname{char}(F)\neq 2$ . Demostrar que $V=V^+ \oplus V^-$ , detalles a continuación

Question

Dejemos que $T$ sea una transformación lineal $T: V\rightarrow V, T^2=I$ . Definir $$V^+ =\{v\in V \mid T(V)= +v \}, V^-=\{ v\in V \mid T(v)= -v \}.$$

Mi comprensión de los campos es todavía débil, hace $\operatorname{char}(F)\neq 2$ ¿sólo significa que no se trata de un campo finito con dos elementos? ¿Puede alguien dar un ejemplo de cuándo es cierto lo que intento demostrar?

Answer 1

Utilice $v=\frac{v+T(v)}{2}+\frac{v-T(v)}{2}$ desde $T(\frac{v+T(v)}{2})=\frac{v+T(v)}{2}$ y $T(\frac{v-T(v)}{2})=(\frac{T(v)-T(T(v))}{2})=\frac{T(v)-v}{2}=\color{red}- \frac{v-T(v)}{2}$

Y si $v_0\in V^+ \cap V^-$ tenemos $T(v_0)=v_0=-v_0$ significa $2v_0=0$ contradicen con $F, char(F)\neq 2$