Necesito resolver \begin{eqnarray} u_{xx} + u_{yy} = 0 \quad \quad y>0 \quad -\infty < x< \infty \end{eqnarray} Con la condición límite \begin{eqnarray} \frac{\partial u(x,0)}{\partial y} = h(x) \mbox{ and } |u(x,y)|<\infty \end{eqnarray} Llamo $U(w,y)$ la transorma de Fourier de $u(x,t)$ . Yo llamo $H(w)$ la transformada de Fourier de $h(x)$ . Sustituyendo $U(w,y)$ en la ecuación diferencial parcial que obtengo: \begin{eqnarray} \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} = w^2U \end{eqnarray} Esta ecuación diferencial tiene solución \begin{eqnarray} U(w,y) = C(w)e^{-|w|\cdot y} \end{eqnarray} La diferenciación da \begin{eqnarray} U_y = -|w| C(w) e^{-|w|\cdot y} \end{eqnarray} Introducción de la condición de contorno $U_y(w,0) = H(w)$ da \begin{eqnarray} U(w,y) = -\frac{H(w)}{|w|}e^{-|w|y} \end{eqnarray} ¿Es correcto este paso? ¿Y cómo debo continuar si lo es? Necesito transformar de nuevo, de tal manera que \begin{eqnarray} u(x,y) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} -\frac{H(w)}{|w|}e^{-|w|y} e^{iwx}dw \end{eqnarray} ¿Cómo puedo resolver esta integral? ¿Se aplica la convolución?
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Consideremos la transformada de Fourier de $u$ $u_{xx}$ , $u_{yy}$ y $h(x)$ $$u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n(y)\sin(\frac{n\pi x}{l})$$$$ u_{xx}=\sum_{n=1}^{\infty}w_n(y)\sin(\frac{n\pi x}{l}) $$$$u_{yy}=\sum_{n=1}^{\infty}v_n(y)\sin(\frac{n\pi x}{l})$$ $$h(x)=\sum_{n=1}^{\infty}h_n(y)\sin(\frac{n\pi x}{l})$$ tal que $$u_n(y)=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(x,y)\sin(\frac{n\pi x}{l})$$$$ v_n(y)=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}u_{xx}\sin(\frac{n\pi x}{l}) $$$$w_n(y)=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}u_{yy}\sin(\frac{n\pi x}{l})$$$$ h_n(y)=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}h(x)\sin(\frac{n\pi x}{l}) $$ and we conclude following statments $$ 1. \begin{eqnarray} \frac{\partial^2 U_n(y)}{\partial y^2} = v_n(y) \end{eqnarray}$$$$2.v_n(y)+w_n(y)=0$$$ 3. $ and integrate $ w_n(y)=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}u_{yy}\sin(\frac{n\pi x}{l}) $ by part and you take $ w_n(y) $respect to $ u_n(y) $ therefore by use of $ 1,2,3 $ you can easily find $ u_n(y) $ then you can find$ u(x,y ) $
Puedes hacer esa última integral si sustituyes $H(w)$ con su definición como la transformada de Fourier de $H(x)$ . A continuación, deberías ser capaz de reordenar la integral (doble) en la forma $$ \int dx'\, h(x') G(x,y,x') $$ donde $G(x,y,x')$ es alguna función que debería ser capaz de encontrar en forma cerrada (también es la solución a su problema en el caso $h(x)=\delta(x - x')$ ).
