¿Cómo construir tres círculos mutuamente ortogonales en la proyección estereográfica?

Question

Soy nuevo en geometría esférica y disfruto haciendo construcciones con regla y compás, así que estoy tratando de enseñarme a hacerlas en proyección estereográfica. Me resulta todo un desafío, por decirlo de forma suave.

La siguiente imagen muestra tres grandes círculos ortogonales proyectados en el plano (En la esfera se vería como esto.):

El círculo gris con el sombreado es la intersección de la esfera con el plano. Los dos círculos morados son ortogonales y dividen la esfera en cuatro biángulos iguales (segmentos - como así). El círculo punteado es el que quiero pero lo hice a ojo y no puedo descifrar cómo construirlo correctamente. Es ortogonal a ambos círculos morados, como lo muestran las líneas tangentes verdes (más o menos - soy consciente de que no es muy preciso).

Así que tengo dos preguntas:

1. ¿Cómo puedo construir el círculo punteado con regla y compás? Si la respuesta, de hecho, está frente a mí, ¡un suave indicio sería suficiente!

2. ¿Existe una buena fuente, en línea o en un libro, de instrucciones prácticas/orientación para hacer este tipo de cosas a mano?

Cualquier indicación sería muy apreciada.

[EDITAR: Anoche se me ocurrió que tenía todo lo que necesitaba para resolver el problema excepto la siguiente técnica: dado un punto arbitrario en el plano, construir la proyección del gran círculo del cual ese punto es un "centro" (es decir, el ecuador para el cual el punto dado es el Polo Norte o Sur).

Esto me permitiría bisecar (¡en la esfera!) uno de los arcos de círculo que el círculo requerido debe cruzar; por simetría, claramente debe cruzar allí (a la mitad), así que esto construye un punto en el círculo. Luego, hacer esto tres veces y construir el círculo en estos tres puntos o, de manera más elegante, construir la tangente al círculo morado en ese punto y el centro del círculo requerido estará donde la tangente cruza la línea señalada por Will Jagy.]

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Bien, gracias tanto a Will Jagy como a Willemien por encontrar soluciones a esto. Estoy ilustrando ambas aquí para mayor claridad. Están relacionadas pero son diferentes. Aunque mi intuición aún no está completamente ahí, estoy convencido de que ambas son construcciones correctas. Ciertamente GeoGebra mide los círculos como idénticos, ortogonales a los dos círculos dados y cruzando el primitivo en puntos diametralmente opuestos.

Primero, solución de Willemein:

Segundo, solución de Will Jagy (de hecho, hice esto primero y tuve que guiarme un poco más a mí mismo, así que está más anotado):

Answer 1

Tus dos círculos morados se intersecan. Dibuja una línea entre las dos intersecciones. Esto se llama eje cordal o eje radical... El centro de cualquier círculo que sea perpendicular a tus dos círculos morados dados se encuentra a lo largo de esa línea.

página 153 en Dorrie.

Answer 2

Creo que lo resolví y toda la construcción es mucho más simple de lo que esperaba originalmente

En primer lugar, toda la construcción solo depende del círculo gris y donde se intersecan los dos círculos morados.

• El punto dentro del círculo gris es P1
• El punto fuera del círculo gris es P2

Luego, la construcción es la siguiente:

• dibujar la línea L1 a través de P1 y P2

(Prueba: esta línea debe pasar por el centro del círculo gris)

• dibujar la línea L2 a través del centro del círculo gris y perpendicular a L1
• El punto P3 es uno de los dos puntos donde L2 interseca el círculo gris (cualquiera servirá)
• El punto medio M1 es el punto medio del segmento P1 - P2
• dibujar la línea L3 a través de M1 y P3
• dibujar la línea L4 a través de P3 perpendicular a L3
• P4 es donde L1 y L4 se intersecan

El círculo que necesitas tiene centro en P4 y pasa por P3

HECHO

PD: esta construcción asume que el círculo gris es el ecuador de la esfera (parece haber dos definiciones de proyección estereográfica) pero en la pregunta seguramente era así, cada círculo grande divide el ecuador en partes iguales, por lo que si no era este círculo, el círculo se encuentra fácilmente:

• dibujar la línea La a través del centro de uno de los círculos morados y el centro del círculo gris.

• dibujar la línea Lb perpendicular a la línea La a través del centro del círculo gris

• el radio del círculo ecuatorial es la distancia entre el centro del círculo gris y donde Lb interseca el círculo morado (el que fue elegido para La)

Answer 3

Una buena idea cuando hay "demasiados círculos" involucrados es pensar en la inversión. (Deberías encontrar una introducción a la inversión y cómo realizar las construcciones elementales correspondientes en casi cualquier libro introductorio de geometría elemental).

Si inviertes con uno de los puntos de intersección de los círculos morados como centro, estos se convierten en dos líneas rectas (que se intersectan). Aún estás buscando un círculo (o línea, pero eso no ocurre) que sea ortogonal a ambas líneas. Puedes notar que un círculo es ortogonal a dos líneas que se intersectan si su centro es el punto de intersección. Entonces, en la imagen invertida, tienes infinitos círculos (concéntricos) como soluciones. Si inviertes nuevamente, cada uno de ellos se convierte en una solución del problema original.

¿Por qué tantas soluciones? El problema es que hay muchas formas de obtener los dos círculos dados como proyecciones de círculos máximos de alguna esfera (es decir, si permitimos que la esfera varíe) y con cada una viene un tercer círculo máximo diferente.

Answer 4

En el dibujo original. El círculo final es de color azul claro. Los cuatro puntos que encontré con las dos líneas rojas, y rodeados, deben estar en el círculo final. Así que hice eso.

Finalmente descubrí la versión abreviada de la prueba de consistencia. Un círculo en uno de estos dibujos es la proyección estereográfica de un gran círculo en la esfera si y solo si sus dos puntos de intersección con el círculo sombreado en gris son extremos de un diámetro del círculo sombreado en gris.

Entonces, si un círculo en el plano realmente es la proyección estereográfica de un gran círculo en la esfera, ese gran círculo tiene un eje de revolución; ese eje se encuentra con la esfera en dos puntos. No es difícil encontrar los lugares a los que esos dos puntos se proyectan en el plano. Están a lo largo de la línea entre los dos centros, como en la imagen de arriba. El truco es que esos dos puntos deben estar en el otro círculo, así como en el tercer círculo. Por lo tanto, la manera rápida en la que encontré cuatro puntos en el tercer círculo.

Answer 5

En caso de que alguien vuelva a mirar esto... en mi diagrama dando la construcción final simple, afirmo que, dado el "primitivo" que es el Ecuador, y la proyección estereográfica de un gran círculo desde el Polo Norte, el círculo proyectado debe encontrarse con el Ecuador en un diámetro del Ecuador, también es fácil encontrar las proyecciones de los dos puntos finales del "eje" de rotación del gran círculo dado. Así que, a continuación doy dos vistas. La de arriba es de canto, a lo largo del diámetro de la esfera que es la intersección del plano del Ecuador y el plano del (azul) gran círculo. El eje de rotación del círculo azul está en verde, y se dan las proyecciones $\alpha_1, \alpha_2$. La otra vista es desde arriba del plano del ecuador, mostrando el Ecuador y la proyección estereográfica del círculo azul. Ten en cuenta que el círculo azul si se encuentra con el Ecuador en un diámetro del Ecuador. Dado ese diagrama, solo dos círculos, es bastante fácil encontrar las proyecciones de $\alpha_1, \alpha_2$, con el mismo arreglo de segmentos de línea que el diagrama de arriba. Si tenemos un segundo y un tercer gran círculo en la esfera, ortogonales al azul, entonces $\alpha_1, \alpha_2$ deben estar en ambos círculos, por lo tanto en ambos círculos proyectados.